Por Nemiroff, R. J., American Journal of Physics, 61, 619 (1993)


Traducción al castellano de
Distortions Paper Description of Types of Effects http://cossc.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/nslens_effects.html
Juan Cal-los


III. EFECTOS DE LA DISTORSION VISUAL EN UN CAMPO GRAVITATORIO INTENSO

A. Amplificación y multiplicación de las imágenes

Un campo gravitatorio puede hacer que una fuente puntual se vea doble, triple, etc, esto es, que tenga múltiples imágenes. Para un campo gravitatorio esférico estas imágenes estarán en el plano definido por la posición del observador, el centro de la lente gravitatoria y la fuente. Las imágenes no pueden aparecer en otras posiciones porque esto violaría el principio de conservación del momento angular a lo largo de las trayectorias del fotón. De este modo todas las imágenes de una fuente puntual aparecerán sobre una única recta en el firmamento que ve el observador.

Para una fuente extensa, un campo gravitatorio puede producir aparte de la multiplicidad de imágenes una gran distorsión en las mismas. A pesar de todo hay una propiedad que cualquiera de las imágenes debe mantener, y que sera la misma que la de la fuente original: la luminosidad superficial corregida hacia el rojo o el violeta. Todo proceso radiante conserva la intensidad específica a lo largo del rayo de luz.[17] En presencia de gravedad la potencia a lo largo del rayo luz no se conserva, aumenta o disminuye de acuerdo con el desplazamiento al rojo o al violeta. Lo que sí se mantiene constante es "la luminosidad de superficie corregida" B_c = B_r / (1 - R_S/r), donde B_r es la luminosidad de superficie medida en r.

Por ejemplo, si un observador viera en ausencia de gravedad una fuente circular con luminosidad superficial constante, un campo gravitatorio le haría ver múltiples imágenes elongadas. Cada imagen tendría no obstante la misma luminosidad superficial corregida B_c que la fuente original no distorsionada.

El flujo neto que alcanza al observador desde una de las imágenes de la fuente puede ser mayor o menor que el flujo original no distorsionado de la fuente.
Cada imagen sufrirá una amplificación A, que no tiene por qué ser mayor que la unidad.[9] Esto quiere decir que, consideradas en conjunto, las imágenes de una fuente vista en la proximidad de un campo gravitatorio intenso pueden suponer un flujo mayor o menor que el de la misma fuente tal como la veríamos en ausencia de gravedad. Básicamente la fuente puede sufrir dos tipos de amplificación:

La amplificación total se indicará por A_total = A_time * A_angular. Con la convención usada aquí, todas las amplificaciones son mayores que cero.

La amplificación inducida por el diferente ritmo temporal sólo se produce cuando el observador está a diferente distancia radial del centro de la lente que la fuente. Si sólo consideramos estas amplificaciones, la potencia total bolométrica (incluyendo todas las longitudes de onda) que se recibe cambia en un factor A_time = (1-R_S/r_emitted)/(1-R_S/r_observed).

Para fuentes próximas a la linea lente-observador, los efectos de amplificación angular dominan sobre los inducidos por el tiempo. La amplificación angular puede calcularse a partir del ángulo de deflexión dado por la ecuación (2). Si pequeños cambios en el ángulo de la posición de la fuente provocan grandes cambios en el ángulo que ve el observador, entonces la fuente aparecerá angularmente elongada, esto es, amplificada. Del mismo modo una fuente puede estar angularmente reducida, lo que se corresponde con una amplificación angular menor que uno. Los efectos de amplificación angular deben calcularse sobre la esfera celeste del observador, como se indica en [8]

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Donde beta es el ángulo entre la lente y la fuente que vería el observador en ausencia de gravedad y alfa es el ángulo con garvedad y deflexión de la luz. La variación entre estas ángulos, d alfa/d beta se puede calcular a partir de la ecuación (2). Si los ángulos de desviación provocados por la gravedad son pequeños, esto simplifica las fórmulas de amplificación dadas por Refsdal [18] y Liebes. [19]

La amplificación angular neta considerando todas las imágenes de una fuente puede ser mayor o menor que el flujo original en ausencia de distorsión. [7, 20] El motivo es que el campo gravitatorio no cambia el hecho de que el cielo del observador sigue midiendo el mismo ángulo sólido que antes, 4 Pi. De este modo si el ángulo sólido abarcado por ciertas fuentes en mayor que en ausencia de gravedad, el de otras será menor para compensar. En la práctica,sólo un número relativamnte pequeño de imágenes procedentes de fuentes que estén cerca de la recta lente-observador tendrán amplificaciones angulares muy grandes (A_angular >> 1), mientras que las imágenes del resto de las fuentes estarán ligeramente reducidas (A_angular <~ 1).

El flujo total recibido por un observador desde toda la esfera celeste puede ser también mayor o menor que el recibido en ausencia de gravedad.[20] Un campo gravitatorio no crea fotones, sólo los redistribuye y los desplaza hacia el rojo o el violeta. La redistribución angular y las distorsiones debidas al tiempo actúan en sentidos opuestos. Para el fondo del cielo, A_angular <1, porque el ángulo sólido que ocupaba (4 Pi) se ha reducido en el ángulo que ocupa la esfera de fotones de la lente. Pero por otra parte los fotones que proceden de grandes distancias, mayores que la del observador a la fuente, estarán desplazados hacia el violeta, y el ritmo de llegada observado será mayor (el tiempo discurre a menor ritmo para el observador, que está más hondo en el pozo de potencial) [7]

En otras palabras, el fondo del cielo ocupa menos en la esfera del observador, pero éste recibe más fotones por unidad de área, y cada fotón es de mayor energía. ¿Se compensan de forma exacta todos estos efectos? No. Cualquier observador medirá un A_total > 1, tanto mayor cuanto más próximo esté el observador a la lente.

B. Anillos de Einstein

Un elemento observacional importante de la distorsión visual producida por la intensa gravedad que no se suele tratar en los textos de introducción y se deja para los textos específicos de focalización gravitatoria son los anillos de Einstein. [18-19, 21] Ya se ha demostrado que todas las imágenes deben producirse en el plano definido por la fuente, el centro de la lente y la posición del observador. Pero ¿y si los tres están alineados? En este caso no hay un único plano definido y el observador verá la imagen de la fuente puntual como un anillo infinitesimalmente delgado, un anillo de Einstein. Como veremos a continuación, varios anillos de Einstein pueden aparecer simultáneamente, y nos serán de gran ayuda como lineas divisorias invisibles entre conjuntos de imágenes,[7] incluso en el caso de no haya fuentes distorsionadas en un anillo.

No se suele tener en cuenta que puede haber un número infinito de anillos de Einstein. De hecho, puede haber un número infinito de anillos de Einstein por cada conjunto de alineaciones del observador con la lente y la fuente puntual. El anillo de Einstein que se suele estudiar es el más destacado de los que tienen lugar en una alineación precisa, el que se produce a DeltaPhi = pi. En este caso la luz emitida por la fuente con un ángulo dado es desviada ligeramente por el campo gravitatorio en dirección al observador. Si la luz es emitida con otro ángulo la lente no sería capaz de curvar el rayo lo suficiente para alcanzar al observador o lo curvaría en exceso. Ya que la situación es simétrica respecto a la´recta que une fuente, lente y observador, la fuente será vista como un anillo. A este anillo se le conoce como el primer anillo de Einstein. (Posteriormente se le puede añadir un índice adicional al anillo de Einstein que indique el radio relativo de la fuente.)

Es posible observar otros anillos de Einstein más proximos angularmente al centro de la lente. Los fotones del tercer anillo de Einstein han dado una vuelta completa alrededor de la lente muy próximos a la esfera de fotones antes de alcanzar al observador (el segundo anillo de Einstein se define dos párrafos más abajo). De hecho, la trayectoria de estos fotones intersecta con ella misma. Los fotones pueden rodear la lente un número arbitrariamente grande de veces antes de alcanzar al observador, y cada una de estas trayectorias se corresponde con un anillo de Einstein. De este modo hay ínnumerables anillos de Einstein para la configuración especificada de fuente-lente-observador. Cada anillo de Einstein se ve más y más próximo a la posición aparente de la esfera de fotones. Cuanto mayor sea el número de vueltas que el foton tiene que dar alrededor de la estrella de neutrones o del agujero negro antes de alcanzar al observador, más precisa deberá ser la dirección en que se emite para seguir esa trayectoria, más dificil será que cualquier fotón la siga, y más "debil" será el anillo de Einstein. Por este motivo los anillos de Einstein de orden alto trasmitirán poca luz comparados con los de orden inferior. De hecho, la luminosidad relativa de cada anillo de Einstein disminuye exponencialmente.[10]

El primer anillo de Einstein puede verse también en situaciones de gravedad relativamente baja si se está a gran distancia de objetos tan grandes como estrellas normales, galaxias o incluso cúmulos de galaxias. De hecho ya se ha observado el primer anillo de Einstein completo en algunas radiogalaxias. [22]. Blandford y Narayan [23] dan una buena relación de las mediciones extragalácticas de efectos de lente gravitatoria.

Se puede observar otro conjunto de anillos de Einstein cuando la fuente y el observador están en el mismo lado de la lente. En este caso, si la lente es muy compacta, (una estrella de neutrones supercompacta, por ejemplo), la luz que procede de fuentes detrás del observador puede describir una trayectoria en U alrededor de la estrella de neutrones y regresar para ser vista por el observador. Llamaremos al anillo de Einstein producido por estas trayectorias segundo anillo de Einstein, porque se verá entre el primer y el tercer anillo, y es más brillante que el tercero pero menos que el primero. El cuarto anillo de Einstein se produce cuando la luz da una vuelta completa a la lente junto con una semivuelta antes de llegar al observador. Téngase en cuenta que al igual que en el caso de desviaciones pequeñas, hay una distancia crítica mínima (o máxima para observadores dentro de la esfera de fotones) dada por la ecuación (3). Hay innumerables anillos de Einstein de orden par, pero como con los de orden impar, los de orden elevado transmitirán poca energía comparados con los de orden inferior.

Conviene definir también el anillo de Einstein de orden cero, que se corresponde con el caso de luz que procedente de una fuente alineada con la lente y el observador llega al observador en una trayectoria radial (delta phi = 0). Este "anillo" de Einstein es en realidad un único punto en el cielo del observador. Se diferencia de los otros anillos en que su amplificación angular (para una fuente puntual alineada) no es formalmente divergente.

Recuérdese que una única fuente situada en el lado de la lente opuesto al observador sólo creará el primer, tercer, quinto... anillo de Einstein, esto es, los de orden impar. Una fuente en el mismo lado que el observador creará los anillos de orden par.

La posición de cada conjunto de anillos de Einstein (para un observador dado) depende de la distancia de la fuente a la lente. Una fuente puntual en el infinito directamente detrás de la lente creará un conjunto completo de anillos de Einstein de orden impar. La misma fuente a una distancia finita (pero siempre detrás de la lente) creará un conjunto diferente de anillos de Einstein de orden impar. Podemos así clasificar cada conjunto de anillos de Einstein a partir de la posición de la fuente que los provoca. Para fuentes en el infinito los llamaremos anillos "celestes" de Einstein. Para fuentes sobre la superficie de la lente, los llamaremos anillos "de superficie" de Einstein. De forma general, se adopta la convención de denominar cada anillo de Einstein con el radio de la esfera donde está la fuente.

Matemáticamente, se producirá un anillo de Einstein cada vez que el ángulo de deflexión delta phi (ec. 2) sea un múltiplo entero de Pi radianes.[7] Recuérdese que estos anillos son conceptos teóricos que sólo son visibles si la fuente está exactamente en el eje observador-lente, lo que para fuentes pequeñas es improbable.

Para que pueda existir un anillo de Einstein el ángulo con que se ve la lente (supuesta opaca) debe ser menor que el ángulo que le correspondería al anillo. Si el radio angular de la lente es menor que el del primer anillo pero mayor que el de los siguientes, sólo podremos ver el primer anillo de Einstein. De todos modos, si el radio de la lente es suficientemente pequeño para que haya esfera de fotones (R<1.5*R_s=R_P, habrá siempre infinitos anillos. El motivo es que existe un anillo por cada vuelta completa alrededor de la lente que un fotón pueda dar, y como cada una de esas trayectorias siempre está por encima (o por debajo) de la esfera de fotones sin cruzarla, puede haber un número infinito de ellas.

También debe tenerse en cuenta que la existencia de anillos de Einstein depende de la posición relativa de la lente, del observador y de la fuente, pero que la esfera de fotones o el horizonte de sucesos no dependen de estas posiciones relativas. Para un observador dado puede existir el primer anillo de Einstein al mirar hacia la estrella de neutrones, pero para otro que esté más cerca el ángulo con que se ve la estrella puede ser mayor que el ángulo del primer anillo que le corresponde por su posición. De todas formas, para agujeros negros, o estrellas de neutrones suficientemente compactas para tener una esfera de fotones, la esfera de fotones es una hecho real -los fotones pueden orbitar en ella- aunque no haya un observador para verlos.

C. Toda la esfera celeste y toda la superficie pueden ser visibles.

Entre dos anillos de Einstein "celestes" habrá siempre una imagen completa del cielo. [7] Análogamente, entre dos anillos de Einstein "de superficie" habrá una imagen de toda la superficie de la estrella de neutrones. De modo general, se puede ver una imagen de todos y cada uno de los puntos de una esfera centrada en la lente entre dos anillos de Einstein consecutivos de la misma.

Si el radio de la lente es suficientemente pequeño para que esta tenga una esfera de fotones, se podrán ver infinitas imágenes de una fuente, independientemente de su posición. Una imagen llegará al observador con relativamente poca desviación. Esta imagen está entre el anillo de orden cero y el de orden uno, y la llamaremos la imagen primaria. Una segunda imagen llegará al observador al rodear la lente por el polo opuesto al de la primera, y por tanto sera vista formando un ángulo de 180 grados desde el centro de la lente con la primera imagen.Esta imagen secundaria estará siempre entre el primer y el segundo anillo de Einstein. Llegará una tercera imagen saliendo por el mismo hemisferio que la primera, y estará aún más próxima a la posición aparente de la esfera de fotones. El fotón que la forma habrá rodeado completamente una vez al agujero negro o estrella de neutrones antes de alcanzar al abservador, y la imagen estará siempre entre los anillos de Einstein segundo y tercero. Tanto para esta imagen como para las de órdenes superiores, la trayectoria del fotón se corta a sí misma. La cuarta imagen se produce en el mismo hemisferio que la segunda, después de haber rodeado el fotón a la lente una vez en sentido contrario de los de la tercera imagen. Por cada número de veces que pueda rodear a la lente un fotón se formará la imagen correspondiente, y en teoría puede haber trayectorias con un número arbitrariamente grande de vueltas. En la práctica la intensidad de estas imágenes de múltiples vueltas decrece muy rápidamente y serán difíciles de ver. [9]

Cada conjunto de imágenes contenidas entre dos anillos de Einstein consecutivos sufre una reflexión especular en relación a las imágenes entre el par anterior de anillos. Por ejemplo, si la fuente fuera un libro, la imagen primaria de éste se vería con relativamente poca distorsión entre los anillos de Einstein de orden cero y orden uno correspondientes a la posición radial del libro. Entre el primer y el segundo anillo, en la imagen secundaria, el libro aparecería en escritura especular, pero correctamente orientado hacia arriba. Habrá también una gran distorsión porque toda la esfera debe tener imagen entre los dos anillos. La tercera imagen del libro, entre el segundo y el tercer anillo, estará en escritura normal (ni reflejada ni invertida), aunque aún más distorsionada debido a que el área angular de entre estos dos anillos será aún más pequeña. Blandford y Kochanek [24] tienen un estudio de la paridad de las imágenes para el par de imágenes más brillantes producidas tanto por lentes puntuales (que son las que hemos tratado aqui) como por otros tipos de lentes gravitatorias.

Además, para una estrella de neutrones suficientemente compacta, toda la superficie de la estrella puede ser visible al mismo tiempo. [5] Un observador podrá ver toda la superficie de la lente (exactamente una vez) si el primer anillo de Einstein de la superficie tiene el mismo tamaño angular que el de la superficie de la lente. (En el apéndice se da el cálculo del tamaño angular de una esfera de masa M, radio R_* a la distancia D.)
Si el segundo anillo de Einstein de la superficie tiene igual tamaño angular que el tamaño aparente de la lente, se verán dos imágenes completas de la superficie.

Toda lente que tenga un primer anillo de superficie es completamente incapaz de bloquear la luz de cualquier fuente. Tales objetos no pueden eclipsar nada. Esta es la razón por la que una estrella de neutrones en un sistema binario bien separado nunca podrá bloquear la luz de su compañera binaria.

Con menos restricciones, cualquier lente que tenga un primer anillo de Einstein "celeste" es incapaz de bloquear la luz del cielo de fondo. Casi todas las estrellas de nuestra galaxia son incapaces de bloquear la luz de superposiciones aleatorias de objetos más alejados. Por ejemplo, ninguna supernova de otras galaxias dejará de verse porque haya sido "eclipsada" por una estrella interpuesta de la Vía Láctea. Si se diera casualmente una tal superposición (lo que es altamente improbable) , la supernova sería muy amplificada por el campo gravitatorio de la estrella, en lugar de ser atenuada por un efecto de "eclipse". Cuando se consideran fuentes lejanas, las estrellas son suficientemente compactas para mostrar sin dificultades un primer anillo de Einstein a un observador distante, y por eso no pueden bloquear la luz de la fuente.

Todas las estrellas, excluyendo al Sol pero incluyendo incluso a las más próximas, tienen un primer anillo de Einstein respecto a un observador en la Tierra. El minúsculo tamaño angular de este anillo está por debajo de la resolución angular de los telescopios ópticos, pero no de la que se alcanza en algunas observaciones de radio. La gravedad de estas estrellas normales es lo suficientemente fuerte para desviar la luz alrededor de ellas y hacer visibles fuentes muy lejanas. De todos modos, casi ninguna de las estrellas próximas mostrará un segundo anillo de Einstein "celeste", a menos que sea un agujero negro o una estrella de neutrones. Si la estrella fuera suficientemente compacta para tener una esfera de fotones rodeándola, entonces, en teoría, serían visibles infinitos anillos de Einstein "celestes" ( y por tanto infinitas imágenes del firmamento).

D. Anillos de Einstein "propios": Cuando uno se ve a sí mismo

Un conjunto de anillos de Einstein especialmente interesantes son los anillos de Einstein "propios", cuando el observador puede verse a sí mismo. La situación más conocida es aquella en la que el observador está en la esfera de fotones. Allí le basta a un observador mirar a lo largo de la esfera de fotones, en la que la luz viaja en círculo, ¡para verse el cogote! [11,25]
De todos modos, si la estrella es suficientemente compacta, cualquier observador puede verse a sí mismo, independientemente de su posición. La luz puede partir del observador, viajar alrededor de la lente y volver al observador. Este se verá a sí mismo como un conjunto de anillos de Einstein. Cuantas más veces pueda la luz dar vueltas alrededor de la lente y volver al observador, más imágenes "propias" podrá ver el observador. Para lentes suficientemente compactas para tener esfera de fotones, un observador puede en teoría verse en cada anillo de Einstein propio: un número infinito de veces.

Curiosamente, sólo hay un caso en que los observadores podrán ver una única imagen de sí mismos - y precisamente esta es la situación más conocida [25]- ¡cuando están en la esfera de fotones!. En ella los anillos propios se mezclan para formar una única imagen del observador.

Un observador que se vea a sí mismo lo hará con un gran aumento. La razón es que sus imágenes estarán en los anillos de Einstein o muy próximas a ellos, en donde se producen las mayores amplificaciones. Con esto la gravedad se convierte ¡ en un poderoso microscopio!. Mientras en la esfera de fotones un observador puede ver microscópicamente aumentado su cogote, los observadores más distantes podrán ver sus propios ojos con un enorme aumento. El motivo es que la luz que vuelve al observador es la que se emitió en una trayectoria casi radial, y la parte del observador más próxima a la radial son sus propios ojos. Si está cerca de la esfera de fotones o en ella, el observador podrá ver las imágenes anulares de su cabeza (o de nave espacial).

IV. VIAJE A UNA ESTRELLA DE GRAVEDAD MUY INTENSA

Actualmente es posible conseguir una descripción detallada de los efectos de distorsión que vería un viajero espacial (o una cámara) en un encuentro con una estrella de muy intensa gravedad. El primer caso que se presenta es un viaje a una estrella deneutrones "normal": la que se ajusta a las ecuaciones que con los conocimientos actuales describen la estructura interior de una estrella de este tipo. Tales estrellas no son lo suficientemente densas como para tener una esfera de fotones ni un horizonte de sucesos. (Si tuvieran un horizonte de sucesos serían, por supuesto, agujeros negros)

El segundo caso que se presenta en un viaje a la vecindad de un agujero negro. Este caso en más complicado que el anterior porque pueden existir trayectorias de fotones que den vueltas alrededor del agujero negro. De todas formas, una cierta ventaja frente al caso anterior es que no tenemos que preocuparnos de la distorsión en la superficie del astro para un agujero negro.

El tercer y último caso es un viaje a una estrella de neutrones supercompacta -con una ecuación para su estructura interna tan extrema que permita una densidad media lo suficientemente alta como para tener una esfera de fotones. Este es el caso más complicado dado que intervienen los tres tipos de trayectorias para fotones en la descripción de la distorsión de las imágenes del firmamento y de la superficie.

Se han elegido objetos familiares para ilustrar la distorsión de sus imágenes. Así, la bóveda celeste corresponde al actual cielo nocturno terrestre. Concretamente, el firmamento se ha sacado del Catálogo de estrellas brillantes, [26] siendo visibles tdas las estrelas de hasta 5ª magnitud, y teniendo en cuenta las estrellas de hasta 7ª magnitud si su brillo las ampliara hasta la visibilidad. Para las estrellas de neutrones, se ha proyectado un mapa de la Tierra sobre la superficie de la estrella. Las imágenes son acordes con la Relatividad General en casi todos los aspectos. La resolución es de aproximadamente 3 minutos de arco (0.05 grados).

El brillo de las imágenes de las estrellas es directamente proporcional al área con que se dibuja. Era imposible cambiar el brillo de los pixels, así que muchas de las imágenes de un único pixel se verían en realidad más tenues de lo que aparecen en las ilustraciones. Se ha considerado también las variaciones de brillo debidas a los efectos de amplificación angular, pero no se han tenido en cuenta los debidos a la variación temporal.

Obsérvese que para A_angular > 1 el flujo de la imagen de la estrella se vería como un incremento del área angular de la imagen, así que el aumento del área angular al producir las imágenes es realista en este sentido. No obstante, la distorsión en las imágenes amplificadas no sería observable en la práctica, no pudiendo el observador resolverlas y siendo para él indistinguibles de fuentes puntuales. Por ello las estrellas se muestran como círculos, incluso aunque sufran amplificación (que no sería uniforme en todas las direcciones).

El programa sólo ha tenido en cuenta las dos imágenes más brillantes de cada fuente. Cada estrella de hasta 5ª magnitud tiene su imagen secundaria, sin importar la magnitud de esta. Para las estrellas de 5ª magnitud sólo se muestra su imagen primaria, siempre y cuando esta sea de brillo igual o superior a la 5ª magnitud después de su desviación por la lente. Imágenes de ordensuperior podrían en principio ser visibles, pero ello requeriria una resolución angular bastante más alta (la única excepción es la figura 2p). Al dibujarlas, se puso un límite de 100 a la amplificación angular de todas las fuentes.

La supuesta "cámara" que se utiliza en las simulaciones se puede decir que se ha elegido al antojo pero tiene algunas características bien definidas. En primer lugar la cámara es asintóticamente pequeña y las desviaciones relativistas de la luz son despreciables en la longitud de la cámara. El campo visual abarca 90º. Por último, los fotogramas producidos por la cámara se han aplanado, con lo que el área angular del firmamento esférico es directamente proporcional al área espacial de la imagen plana.


Referencias
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