Por Nemiroff, R. J., American Journal of Physics, 61, 619 (1993)


Traducción al castellano de
Distortions Paper Principles and Mathematics- http://cossc.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/nslens_math.html
Juan Cal-los

II. PRINCIPIOS GRAVITACIONALES Y MATEMATICAS

La distorsión visual que aquí se describe es la producida por la gravedad en la métrica de Schwarzschild [14]. Aunque la Teoría de la Relatividad General de Einstein [15] no es la única teoría de la gravedad que admite la métrica de Schwarzschild como solución exterior de un campo gravitatorio esféricamente simétrico y sin rotación, es la teoría preferida, y la que será asumida implícitamente aquí. La métrica de Schwarzschild es:

Donde ds es la medida métrica de las coordenadas distancia r, tiempo t y ángulos theta y phi. El término R_S, el radio de Schwarzschild, es el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro,y c es la velocidad local de la luz. R_S es directamente proporcional a la masa que crea la métrica, y viene dado por R_S = 2GM/c^2, donde G es la constante gravitatoria y M la masa interior a r.

Para un fotón, ds^2 = 0. Combinándo con la conservación del momento angular nos permite expresar el ángulo de deflexión phi de un fotón moviéndose en un campo gravitatorio[16] como

donde b es una constante sobre la trayectoria del fotón, que se corresponde para un fotón que escapa con el parámetro de impacto proyectado linealmente de un fotón en el infinito. Este parámetro de impacto puede visualizarse suponiendo que el fotón está viajando en línea recta cuando está muy lejos del objeto causante de la gravedad; el parámetro de impacto es la distancia entre el centro del objeto gravitante y la prolongación de esta línea en su máxima aproximación. Hay que tener en cuenta que Delta phi no es el ángulo de deflexión extra producido por la lente, sino la variación total en el ángulo phi entre el observador y la fuente del fotón, emitido en la coordenada radial r_emitted y observado en la coordenada radial r_observed. Este ángulo se mide con la lente en el vértice, e incluye la deflexión gravitatoria. Según esto, una fuente vista por un observador justo en el borde de una lente de masa muy pequeña, y por ello con efecto despreciable sobre la trayectoria del fotón, tendrá un Delta phi próximo a pi.

En la ecuación (2) existe un valor del radio para el cual Delta phi diverge a infinito. En este caso un fotón rodeará el astro en la llamada esfera de fotones. La localización exacta de la esfera de fotones es R_P = 1.5 R_S. Obsérvese que una estrella de neutrones "normal", con un campo gravitatorio externo relativamente débil no tiene esfera de fotones. Si se hiciera de algún modo más compacta, llegaría a tener esfera de fotones, y si se compactara aún más, tendría horizonte de sucesos y la llamaríamos agujero negro. Para los agujeros negros y las estrellas de neutrones "supercompactas" que consideraremos más adelante, estas órbitas circulares de fotones pueden existir.

Los fotones orbitando en la esfera de fotones no siguen trayectorias estables [16] - cualquier pequeña perturbación les hará seguir una espiral hacia afuera o hacia adentro. Los fotones emitidos en el infinito con parámetro de impacto ligeramente mayor que R_B = 3^(1.5) R_S / 2 efectuarán una espiral entrante alrededor de la estrella compacta cerca de la esfera de fotones y después una espiral saliente. Los fotones emitidos desde el infinito con parámetro de impacto ligeramente menor que R_B efectuarán una espiral cerca de la esfera de fotones antes de cruzarla e incidir en la superficie de la estrella de neutrones o caer dentro del agujero negro. También es posible para un fotón ser emitido por la superficie de la estrella de neutrones supercompacta, orbitar próximo a la esfera de fotones y volver a caer en espiral sobre la superficie. En la práctica abarcamos así todos los diferentes casos de treyectorias de fotones en la vecindad de una estrella de neutrones supercompacta. Las otras trayectorias más cortas se sitúan en uno de los casos anteriores.

Habíéndolos diferenciado, los tres tipos de trayectorias de un fotón que está próximo a un cuerpo gravitante pueden resumirse en: "siempre fuera de la esfera de fotones", "cruzando la esfera de fotones" y "siempre dentro de la esfera de fotones."
La primera situación corresponde a un fotón que se aproxima a una estrella de neutrones o un agujero negro, alcanza un radio crítico R_c, y se aleja a continuación hasta el infinito. En este caso el fotón ni alcanza ni cruza la esfera de fotones. Su distancia a la estrella disminuye monótonamente hasta R_c, y a continuación vuelve a aumentar.
La segunda situación es la del fotón avanza hacia la estrella de neutrones (o el agujero negro) hasta que incide en su superficie (o atraviesa el horizonte de sucesos). En este caso su distancia al astro disminuye monótonamente.
El tercer caso es el de un fotón emitido desde la superficie de un estrella de neutrones de gravedad muy intensa, que alcanza un radio crítico R_c y a continuación vuelve a caer sobre la superficie.

Este radio crítico viene dado por la solución de la ecuación cúbica [9]

donde n = 0 para el primer caso y n = 2 para el tercero.

Un fotón que ascienda en un campo gravitatorio se hace menos energético. Esta pérdida de energía se conoce como "desplazamiento hacia el rojo", ya que los fotones del espectro visible aparecerían más rojos. Del mismo modo, un fotón que desciende en un campo gravitatorio se hace más energético y presenta un desplazamiento hacia el violeta. Un fotón emitido en el radio r_emitted con energía E_emitted será observado en el radio r_observed con una energía E_observed que viene dada por [7]

Es de señalar que la magnitud del efecto de desplazamiento hacia el rojo (o el violeta) no es función ni del ángulo de emisión ni del de recepción del fotón - sólo depende de la distancia radial que el fotón tenga que escalar (o descender) en el pozo de potencial. Téngase en cuenta también que la potencia recibida desde una fuente que radia de modo continuo tendrá un factor adicional [(1 - R_S/r_emitted) / (1 - R_S/r_observed)]^(1/2) debido a que el número percibido de fotones por unidad de tiempo relativa a cada observador es diferente.

De todos modos el efecto provocado por un campo gravitatorio sobre el color de un objeto es bastantante más complicado, y depende también de cómo se distribuyan los fotones emitidos por la fuente por las diferentes energías, (o sea, de la distribución espectral de los fotones), así como de la sensibilidad del observador para medir las diferentes energías (y freciencias). Por ejemplo, un objeto de color verde puede ser muy brillante en el ultravioleta - pero no lo notaríamos porque no podemos ver el ultravioleta). Si este objeto estuviera en un campo gravitatorio muy intenso y lo viéramos desde muy lejos, con lo que los fotones estarían fuertemente desplazados hacia el rojo, la intensa radiación ultravioleta podría llegar a desplazarse hasta el violeta, y el objero se vería cada vez más azulado, a pesar de que lu luz está siendo desplazada hacia el rojo. De todos modos este sería un caso excepcional, y los objetos que sufren desplazamiento hacia el rojo suelen aparecer más rojos.


Referencias
III. Efectos de la distorsión
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