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CONTRACCIóN DE LONGITUDES EN LA RELATIVIDAD GENERAL (revisado 20/ene/2008)

En un campo gravitatorio intenso las longitudes se contraen, igual que lo hacían en un cuerpo en movimiento según la relatividad especial.

Voy a tratar de demostrar y calcular en la relatividad general esta contracción pero en vez de hacerlo de un modo directo, a partir de la métrica de Schwarzchild, lo haré indirectamente a partir de las fórmulas del enelentecimiento de la luz al pasar por un campo gravitatorio que comenté en un apartado anterior y que obtuvimos a partir de la métrica de Schwarzchild.

Partiremos de las ecuaciones de la velocidad de la luz en un campo gravitatorio que plantee en "frenando la luz" para la velocidad de la luz tangencialmente al campo gravitatorio

y normalmente (o radialmente) al campo gravitatorio

cr = c0(1 - 2GM/c2r)

Llamemos § a el factor con lo que queda

ct = c0 . §

y

cr = c0 . §2

Además usaremos la fórmula del enlentecimiento temporal de un cuerpo en reposo en un campo gravitatorio ya vista en un apartado anterior, que usando la nomenclatura indicada queda en 

dt' = dt . §

Dividiremos el problema en dos partes. Primero el caso de una regla colocada verticalmente, o sea apuntando hacia el centro de gravedad del astro masivo, y segundo el caso de una regla situada tangencialmente al campo gravitatorio.

CASO 1: REGLA VERTICAL

Veamos que pasaría con una regla situada verticalmente, y un rayo de luz desplazándose a lo largo de dicha regla que mide "de" para un observador externo (situado lejos del centro de masas) y "de' " para un observador interno (situado justo en la posición de la regla), durante un tiempo dt según el observador externo y dt' según el observador interno, junto a la regla.

Para el observador interno, como la velocidad de la luz no habrá cambiado para él, pues para todo observador la velocidad de la luz sigue siendo c0 en sus alrededores sea cual sea su estado, la longitud recorrida por la luz al o largo de la regla será

de' = c0 . dt'

sustituyendo dt' por dt . § obtenemos

de' = c0 . dt . §                       (1)


pero para el observador externo, dado que el campo gravitatorio afecta a la velocidad de la luz, tenemos que la longitud recorrida por la luz es

de = cr dt

que sustituyendo cr por c0 . §2 se convierte en

de = c0 . §2 . dt                          (2)

Si ahora dividimos las expresiones (1) y (2) de este apartado y simplificamos se obtiene

de/de' = §

o sea  

de = de' . §

que se puede expresar como

de = de'

De esta expresión se deduce que, mientras un observador interno al campo no aprecia ningún cambio, todo cuerpo situado en un campo gravitatorio se "encoge" desde el punto de vista de un observador externo, en dirección radial hacia el centro del campo, ya que de es menor que de'.

 

CASO 2: REGLA EN POSICIóN TANGENCIAL

Veamos ahora que ocurrirá si la regla (de longitud de para un observador externo y de' para un observador interno) está en posición "horizontal", o sea tangencial al campo gravitatorio, e igualmente con un rayo de luz recorriéndola a lo largo en un tiempo dt para un observador externo y dt' para uno interno.

Igualmente

de' = c0 . dt' = c0 . dt . §

pero ahora debemos fijarnos en que para el observador externo la ecuación de la velocidad de la luz tangencialmente al campo gravitatorio cambia y es ct = c0 . § 

Entonces

de = ct dt = c0 . § . dt

con lo que observamos que

de = de'

Por lo tanto concluimos que no se produce ningún encogimiento en dirección tangencial al campo gravitatorio. Sólo se produce el encogimiento en dirección radial al punto central del campo.

 

 

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