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EL SIGNIFICADO DE LA CUARTA TRANSFORMADA DE LORENTZ. SINCRONIZANDO RELOJES

Cuando observas y estudias un poco las transformadas de Lorentz es inevitable marearse un poco con la cuarta transformada. La del cálculo de t' en función de t:

t' = (t - vx/c2)/K

(siendo K=)

Si aplicamos esta ecuación a diversas situaciones podemos ver a que me refiero. Para entendernos llamaremos A al sistema en "reposo" y B al sistema en movimiento.

Para un reloj que se mueva junto al origen de coordenadas móvil, su coordenada x será igual a vt y tenemos que t'=(t-vvt/c2)/K = t(1 - v2/c2)/K = tK2/K = tK así que t' es menor que t en un factor K, cosa que era de esperar por la conocida dilatación temporal de la RE.

Para t=0 y x= 0 resulta que t' = 0, cosa evidente pues acaba de empezar la experiencia y aún no ha habido movimiento ni transcurso de tiempo. Simplemente los relojes de los orígenes de coordenadas de A y B coinciden en el tiempo y el espacio y están sincronizados a cero.

Pero para t=0 si queremos ver que vale t' en distintos puntos del eje x resulta que t' = ( - vx/c2)/K

o sea que cuanto más avanzamos en el eje x tenemos que t' es menor haciéndose cada vez más negativo, y para valores negativos de x resulta que t' es mayor haciéndose positivo y creciendo a medida que nos alejamos hacia la izquierda. Además estos valores de t' son mayores en valor absoluto cuanto mayor es v.

(gráfico prestado por mi amigo Marcelo Crotti que muestra
lo que marcarían unos relojes en cada sistema de referencia según las TL)

La cuestión es ¿qué es ese t' de la cuarta de Lorentz que puede ser mayor o menor que el t en reposo según sea más adelante o atrás en el eje?

La respuesta la podemos obtener analizando el método de sincronizar relojes que nos propone Einstein en sus artículos y libros.

 

SINCRONIZANDO RELOJES

Si tenemos dos relojes a una distancia determinada el uno del otro, una forma lógica y simple de sincronizarlos (al menos si están muy alejados) es mandar una señal electromagnética desde el punto medio de los dos simultáneamente hacia los dos relojes. Cuando la señal llegue a ellos pondremos los relojes en hora y podemos suponer que están sincronizados. Al menos esto será cierto siempre que se acepte que la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia es siempre la misma independiente de la dirección y del movimiento relativo del sistema en cualquier dirección.

Pero si observamos la sincronización desde el sistema en "reposo" podemos considerar que la velocidad de desplazamiento del sistema de referencia (y de los relojes unido a él) influyen pues el rayo de luz llegará antes a un reloj que a otro, y tendremos que la sincronización de los relojes darán un resultado erróneo habiendo un desfasaje entre los relojes finalmente mal sincronizados.

Para calcular cuanto será ese desfasaje supongamos dos relojes M y N separados por una distancia D, y que se mueven a velocidad v hacia la derecha respecto a un sistema de referencia en reposo.

M----------------¡-----------------N -----> v

<-------1--------D------2--------->

Si lanzamos un rayo de luz desde el punto medio entre M y N simultáneamente hacia M y N, y lo observamos desde el sistema de referencia en "reposo", podemos calcular el tiempo TM y TN que tardarán los rayos 1 y 2 en llegar a los puntos M y N.

Como M se ha desplazado hacia la derecha durante el trayecto de llegada de la luz tenemos que

vTM+ cTM = D/2

y entonces TM = (D/2)/(c+v), mientras que por un razonamiento similar TN = (D/2)/(c-v). Como podemos ver, al desplazarse los relojes hacia la derecha esto equivale a efectos de cálculo a decir que el rayo1 se acerca a M a velocidad c+v y el rayo 2 se acerca a N a velocidad c-v, llegando la señal antes a M que a N (naturalmente esto es sólo desde el punto de vista del sistema en reposo, que es el nos incumbe en la experiencia mental).

Así

TN = (D/2)/(c-v) y TM = (D/2)/(c+v)

y restándolos

TN-TM = (D/2)/(c-v) - (D/2)/(c+v)

que reduciendo a común denominador y simplificando queda en

TN-TM = Dv/(c2-v2) que dividiendo entre c2 en el numerador y denominador resulta

TN-TM= (Dv/c2)/(1-v2/c2) = (Dv/c2)/K2

Este será el tiempo de retraso en ponerse en hora el reloj N respecto al M medido desde el sistema en reposo. O sea que, desde el punto de vista de un observador en reposo, cuando el reloj M se ha puesto en hora resulta que N aún espera un tiempo (Dv/c2)/K2 en ponerse en hora y durante ese tiempo el reloj M sigue avanzando.

Llamémosle a este lapso de tiempo de retraso Tr. Entonces

Tr = (Dv/c2)/K2

Pero desde este punto de vista no podemos olvidar que los relojes de un sistema en movimiento van enlentecidos en comparación a los que están en reposo. Así que, desde el punto de vista del observador en reposo (por supuesto), el reloj M sigue avanzando desde su puesta en hora a un ritmo menor que un reloj en reposo en un factor K (que siempre es menor o igual que uno). Así resulta que el retraso de N ( o el adelanto de M, según se mire) bien calculado será:

T'r = K(Dv/c2)/K2 = (Dv/c2)/K

Así que desde el punto de vista del sistema en reposo el reloj N se pondrá en hora con un retraso (Dv/c2)/K respecto al reloj M y marchará retrasado a partir de ese momento en dicha cantidad, aunque en el sistema en movimiento crean que la sincronización es correcta (claro que ¿cual es que está sincronizado correctamente si no podemos decidir si uno de ellos está más en reposo que el otro? entramos en el mundo de la relatividad de la simultaneidad)

Otro modo de llegar a este mismo resultado es usando las Transformadas de Lorentz. Veamos como.

(Primero recordemos dado que N va retrasado respecto a M, la diferencia entre lo que marca el reloj M y el reloj N es: -(Dv/c2)/K. Vamos a tratar de llegar a este mismo resultado con las TL)

Calculemos la diferencia entre dos t' del sistema en movimiento para un instante t (en reposo) dado. Lo haremos restando los t' de dos puntos x1 y x2 según las TL:

t'2-t'1 = (t - vx2/c2)/K - (t - vx1/c2)/K = (-vx2/c2)/K - (- vx1/c2)/K = -(v/c2)(x2 -x1)/K

Si consideramos que en un instante determinado del sistema en reposo resulta que x1 = posición de M y x2= posición de N, tenemos que x2 -x1 = D. Entonces esta expresión será la diferencia de tiempos que marcan los relojes M y N en un instante dado cualquiera desde el punto de vista del sistema en reposo, y podemos ver que es idéntica a la expresión del retraso de sincronismo calculado anteriormente.

Así que tenemos que la diferencia entre dos t' de las TL para un mismo instante t no es más que el retraso, observado por el sistema en reposo, que se produce al sincronizar dos puntos en comovimiento por el sistema del rayo de luz desde el centro.

Entonces podemos llegar a la conclusión de que esa t' de la cuarta transformada no es más que el tiempo que marcará un reloj en el sistema en movimiento si lo sincronizamos en movimiento lumínicamente con uno situado en el origen de coordenadas del sistema que se mueve. Como veíamos al principio t' = (t - vx/c2)/K y como para todo el sistema en reposo el tiempo es el mismo ocurre que en cada punto del sistema en movimiento tenemos un tiempo diferente justo en la medida que provoca el método de sincronización lumínica visto desde el sistema en reposo.

 

Un pequeño detalle extra:

Por otro lado algunos pueden pensar que el haber partido de un sistema en reposo con relojes sincronizados comparado a otro en movimiento con relojes desincronizados puede ser suficiente para probar que el sistema de referencia en supuesto reposo es privilegiado y es el único que se puede considerar a si mismo en reposo. Pero lo cierto es que si no comparamos los sistemas con el resto del universo para ver si se mueven o no, el sistema en supuesto movimiento puede pensar razonablemente que él es el que está sincronizado correctamente (pues él no sabe de su desincronización e hizo una sincronización que en principio debía ser válida), entonces al comparar reloj a reloj con el que tiene enfrente del otro sistema medirá que son los relojes del otro sistema ( el que estaba en supuesto reposo) el que tiene los relojes desincronizados.

Numéricamente aplicando las Trasformadas de Lorentz, si el sistema B se autoconsidera en reposo y cree que sus relojes están correctamente sincronizados tendremos que para t'=0 tenemos que t = (vx'/c2)/K que es totalmente simétrica a la expresión obtenida para la desincronización de A al principio de este texto t' = ( - vx/c2)/K.

La desincronización relativa es idéntica para los dos sistemas de referencia y no podemos averiguar por medio de ella quien es el que está en reposo, si es que se puede hablar de ello.

Así podemos explicar por qué para el origen de coordenadas del sistema B resulta que por las TL tenemos que t'=tK (como vimos al principio de la página), o sea que el tiempo transcurre más lento en B, mientras que para el origen de coordenadas de A se obtiene que t'=t/K (al hacer x=0) o t=t'K, que implica que el tiempo transcurre más lento en el sistema A. Esta última apreciación es la que obtiene un observador situado en el sistema B, que es el que en principio estaba en movimiento. Esto ya no es tan sorprendente, ya que para el sistema B sus relojes están bien sincronizados y es el otro sistema el que se mueve y por lo tanto el que tendrá los relojes desincronizados y el tiempo transcurre más despacio.

Así para un punto fijo de A observado desde B tenemos que el tiempo transcurre más lento en A pero para un punto fijo en B observado desde A tenemos que el tiempo transcurre más lento en B.

 

UNA POSIBLE IMPLICACIóN DE ESTE ESTUDIO

A partir de aquí se puede llegar a una conclusión interesante respecto a sistemas de referencia. Esta conclusión es que en el caso de dos sistemas de referencia inerciales es imposible determinar cual de los dos sistemas es el que se mueve, o si uno de ellos está en reposo, pues cada uno creerá que es él, y las cuentas le saldrán bien. Ya antes de la relatividad especial de Einstein de dio cuenta de esto Poincaré.

Lamentablemente la única forma de decidir si un sistema está en reposo absoluto o no (en el caso de que podamos hablar de ello) es la comparación con el resto del universo. En concreto la observación del desplazamiento dipolar del fondo de microondas podría ser la única respuesta, pero aún así no se puede afirmar que nos movamos y siempre se puede decir que tal vez sea el fondo de microondas el que se mueve y no nosotros. El espíritu de la relatividad prevalece.

A pesar de todo, la comprensión de esta t' de las transformadas de Lorentz nos empuja a aceptar que éstas son compatibles con la existencia de dicho sistema de referencia absoluto aunque no nos ayuden a identificarlo, pues podría ser que existiera dicho sistema de referencia absoluto pero las desincronizaciones de relojes nos impiden detectarlo. No implica que no exista sino que no se puede definir. Al fin y al cabo cuando Lorentz creó sus ecuaciones de transformación lo hizo en base a la existencia de un sistema de referencia absoluto en el que creía (el éter), aunque Einstein luego demostró que su existencia era superflua e innecesaria.

 

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