EL SIGNIFICADO DE LA CUARTA TRANSFORMADA DE LORENTZ. SINCRONIZANDO RELOJES

Cuando observas y estudias un poco las transformadas de Lorentz es inevitable marearse un poco con la cuarta transformada. La del cálculo de t' en función de t:

t' = (t - vx/c2)/K

(siendo K=)

Si aplicamos esta ecuación a diversas situaciones podemos ver a que me refiero.Para entendernos llamaremos A al sistema en "reposo" y B al sistema en movimiento.

Para un reloj que se mueva junto al origen de coordenadas movil, su coordenada x será igual a vt y tenemos que t'=(t-vvt/c2)/K = t(1 - v2/c2)/K = tK2/K = tK que es lógico pues el tiempo en los relojes que se mueven debe funcionar más lento que en reposo en un factor K.

Para t=0 y x= 0 resulta que t' = 0, cosa evidente pues acaba de empezar la experiencia y aún no ha habido movimiento ni transcurso de tiempo. Simplemente los relojes de los orígenes de coordeandas de A y B' coinciden en el tiempo y el espacio y están sincronizados a cero.

Pero para t=0 si queremos ver que vale t' en distintos puntos del eje x resulta que t' = ( - vx/c2)/K

o sea que cuanto más avanzamos en el eje x tenemos que t' es menor haciéndose cada vez más negativo, y para valores negativos de x resulta que t' es mayor haciéndose positivo y creciendo a medida que nos alejamos hacia la izquierda. Además estos valores de t' son mayores en valor absoluto cuanto mayor es v.

(gráfico prestado por mi amigo Marcelo Crotti que muestra
lo que marcarían unos relojes en cada sistema de referencia según las TL)

La cuestión es ¿qué es ese t' de la cuarta de Lorentz que puede ser mayor o menor que el t en reposo según sea más adelante o atrás en el eje?

La respuesta la podemos obtener analizando el método de sincronizar relojes que nos propone Einstein en sus artículos y libros.

 

SINCRONIZANDO RELOJES

Si tenemos dos relojes a una distancia determinada el uno del otro, una forma lógica y simple de sincronizarlos (al menos si están muy alejados) es mandar una señal electromagnética desde el punto medio de los dos simultaneamente hacia los dos relojes. Cuando la señal llegue a ellos pondremos los relojes en hora y podemos suponer que están sincronizados. Al menos esto será cierto siempre que se acepte que la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia es siempre la misma independiente de la dirección y del movimiento relativo del sistema en cualquier dirección.

Pero si observamos la sincronización desde el sistema en "reposo" podemos considerar que la velocidad de desplazamiento del sistema de referencia (y de los relojes unido a él) influyen pues el rayo de luz llegará antes a A que a B, y tendremos que la sincronización de los relojes darán un resultado erróneo habiendo un desfasaje entre los relojes finalmente mal sisncronizados.

Para calcular cuanto será ese desfasaje supongamos dos relojes A y B separados por una distancia d, y que se mueven a velocidad v hacia la derecha

A----------------¡-----------------B -----> v

<-------1--------d------2--------->

Si lanzamos un rayo de luz desde el punto medio simultanemente hacia A y B, y lo observamos desde un sistema de referencia absoluto en reposo, al desplazarse los relojes hacia la derecha esto equivale a decir que el rayo1 se acerca a A a velocidad c+v y el rayo 2 se acerca a B a velocidad c-v, llegando la señal antes a A que a B. Habrá un desfasaje entre los relojes despues de sincronizar. Además tendremos en cuenta que los relojes A y B van enlentecidos en un factor K.

Así

tB = K(d/2)/(c-v) y tA = K(d/2)/(c+v)

y restándolos

tB-tA = K(d/2)/(c-v) - K(d/2)/(c+v)

que reduciendo a común denominador y simplificando queda en

tB-tA = Kdv/(c2-v2) que dividiendo entre c2 en el numerador y denominador resulta

tB-tA = K(dv/c2)/(1-v2/c2) = K(dv/c2)/K2 = (dv/c2)/K

Así que el reloj B se pondrá a cero con un retraso (dv/c2)/K y marchará retrasado a partir de ese momento, aunque en el sistema en movimiento crean que la sincronización es correcta.

Pero ahora calculemos esta diferencia usando las Transformadas de Lorentz, lo haremos restando los t' de dos puntos x1 y x2 según las TL:

t'2-t'1 = (t - vx2/c2)/K - (t - vx1/c2)/K = (-vx2/c2)/K - (- vx1/c2)/K = -(v/c2)(x2 -x1)/K

que es idéntica a la expresión del retraso de sincronismo al ser d = x2 -x1.

Así tenemos que la diferencia entre dos t' de las TL no es más que el retraso que se produce al sincronizarlos por el sistema del rayo de luz desde el centro.

Entonces podemos llegar a la conclusión de que esa t' de la cuarta transformada no es más que el tiempo que marcará un reloj en el sistema en movimiento si lo sincronizamos en movimiento lumínicamente con uno situado en el origen de coordenadas del sistema que se mueve O' (que marcará siempre K veces menos que los relojes en reposo).

 

Un pequeño detalle extra:

Por otro lado algunos pueden pensar que el haber partido de un sistema en reposo con relojes sincronizados comparado a otro en movimiento con relojes desincronizados puede ser suficiente para probar que el sistema de referencia en supuesto reposo es privilegiado y es el único que se puede considerar a si mismo en reposo. Pero lo cierto es que si no comparamos los sistemas con el resto del universo para ver si se mueven o no, el sistema en supuesto movimiento puede pensar razonablemente que él es el que está sincronizado correctamente (pues él no sabe de su desincronización e hizo una sincronización que en principio debía ser válida), entonces al comparar reloj a reloj con el que tiene enfrente del otro sistema medirá que son los relojes del otro sistema ( el que estaba en supuesto reposo) el que tiene los relojes desincronizados.

Numéricamente aplicando las Trasformadas de Lorentz, si el sistema B (O' antes) se autoconsidera en reposo y cree que sus relojes están correctamente sincronizados tendremos que para t'=0 tenemos que t = (vx'/c2)/K que es totamente simétrica a la expresión obtenida para la desincronización de A al principio de este texto t' = ( - vx/c2)/K.

La desincronización relativa es idéntica para los dos sistemas de referencia y no podemos averiguar por medio de ella quien es el que está en reposo, si es que se puede hablar de ello.

Así podemos explicar los resultados que obteníamos al principio de esta página en la que para un punto fijo del sistema B resulta que por las TL tenemos que t'=tK, o sea que el tiempo trasncurre más lento en B, mientras que para un punto fijo en A se obtiene que t'=t/K o t=t'K, que implica que el tiempo transcurre más lento en el sistema A. Esta última apreciación es la que obtiene un observador situado en el sistema B, que es el que en principio estaba en movimiento.

Esto ya no es tan sorprendente, ya que para el sistema B sus relojes están bien sincronizados y es el otro sistema el que se mueve y por lo tanto el tiempo transcurre más despacio en A. Así para un punto fijo de A tenemos que el tiempo tanscurre más lento en A pero para un punto fijo en B tenemos que el tiempo transcurre más lento en B.

 

CONCLUSION

Así tenemos que es imposible determinar cual de los dos sistemas es el que se mueve, pues cada uno creerá que es él, y las cuentas le saldrán bien. Lamentablemente la única forma de decidir si un sistema está en reposo absoluto o no (en el caso de que podamos hablar de ello) es la comparación con el resto del universo. En concreto la observación del desplazamiento dipolar del fondo de microondas, pero la comprensión de esta t' de las transformadas de Lorentz nos empuja a aceptar éstas son compatibles con la existencia de dicho sistema de referencia absoluto aunque no nos ayuden a identificarlo. No implica que no exista sino que no se puede definir.

 

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