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EL ESPACIO EN CUATRO DIMENSIONES (Minkowski), MASA Y ENERGÍA: E=mc2

    Esta parte contiene (sobre todo en la segunda mitad) una  parte de cálculo que puede resultar bastante árido, pero que es el modo en que actualmente se maneja al Relatividad Especial y creo que es conveniente que aparezca en este texto. Aún si lees sólo la parte inicial te servirá como introducción para hacerte una idea del mundo en el que estamos inmersos.

                                                   minkowskyEl espacio cuadridimensional fue introducido por Minkowski probablemente inspirado en las ideas de Poincaré, pero antes de hablar de ello veamos como introducción que ocurre por culpa del principio de constancia de la luz:
    Consideremos al espacio y al tiempo como definidos físicamente respecto de dos sistemas inerciales A y B y un rayo de luz que se propaga en el vacío de un punto del espacio a otro. Si r es la distancia medida entre los dos puntos tendremos que para el sistema en "reposo" (podemos elegir al A o el B)  r = c. dt        (aquí debería poner incremento de t), y elevando al cuadrado ambos miembros y expresando r2 mediante el teorema de Pitágoras aplicado a sus coordenadas tenemos que r2= (dx)2+(dy)2+(dz)2 = c2(dt)2

Y por el principio de constancia de la velocidad de la luz también deberá ocurrir lo mismo para el otro sistema inercial, se encuentra en "movimiento" respecto al primero.

(dx')2+(dy')2+(dz')2 = c2(dt')2

    De aquí se pueden deducir las transformadas de Lorentz de tal forma que sean consistentes con las dos expresiones, tal y como hace Einstein en su libro "Relatividad: Las teorías especial y general" y como mostré en un apartado anterior.

    Con esta introducción aparece que el verdadero elemento en la determinación del espacio-tiempo es el suceso determinado por los cuatro números x, y, z y t pudiendo entonces considerar estos cuatro números como las coordenadas de un suceso en el continuo de cuatro dimensiones.

    Así para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la relatividad especial, Minkowski asignó a todo evento una cuarta dimensión perpendicular a las otras tres y de componente imaginaria cuyo valor sería ict siendo i la componente imaginaria (raíz cuadrada de -1). Así tendríamos que un diferencial de espacio-tiempo ds entre dos sucesos será tal que

(ds)2 = (dx)2+(dy)2+(dz)2+(dw)2           (9)

siendo w=cti y teniendo entonces 4 ejes de coordenadas de tipo cartesiano en el que podemos aplicar el teorema de Pitágoras sin problemas. Es interesante remarcar aquí que Poincaré en un artículo casi simultáneo al de Einstein de 1905 analizó las transformadas de Lorentz y proponía la introducción de una coortdenada cti (la misma de Minkowsky) y decía que las transformaciones de Lorentz quedaban representadas por rotaciones de el continuo tetradimensional que dejan invariantes la cantidad c2(dt)2 - (dx)²-(dy)²-(dz)²

Si cambiamos de sistema de referencia tendremos

(ds')2 = (dx')2+(dy')2+(dz')2+(dw')2 ............................(10)

que ha de ser igual a (9) pues la longitud de un vector es igual para todo sistema de referencia.

Para ilustrar esta igualdad de longitudes imagina un sistema de coordenadas XY normalito y un segmento en ese sistema.  Ahora mueve o gira el sistema de coordenadas dejando quieto el segmento Pues bien, el segmento sigue siendo de la misma longitud, simplemente ha cambiado de posición respecto al sistema de coordenadas.

    Esta expresión matemática (ds)2 = (ds')2se cumple perfectamente para la transformación de Lorentz, por lo que Einstein adoptó este modelo del espacio-tiempo. Es la METRICA DE MINKOWSKI.

Para ilustrar esta igualdad, por ejemplo si consideramos la cantidad s² = c²t'² - x'² y le aplicamos las transformadas de Lorentz, simplificando obtenemos que esta expresión es igual a c²t² - x² 

Por lo tanto podemos decir que s² = s'² y podemos ver que las transformadas de Lorenz implican que la cantidad c²t² - x² no depende del marco de referencia, o sea que (ds)² = (ds')² para cualquier sistema de referencia inercial. tenemos que al igual que la velocidad de la luz es idéntica para todos los sistemas de referencia inerciales, un diferencial de espacio-tiempo medirá lo mismo para todos los sistemas de referencia inerciales. A continuación podemos ver un ejemplo numérico de dicha igualdad.

COMPROBANDO QUE  (ds)2 = (ds')2 para las transformadas de Lorentz

Para esta comprobación realizaremos el cálculo mediante un ejemplo numérico en vez con ecuaciones, pues creo que será más instructivo.

Supongamos un evento E situado a 0.8 años luz de nosotros (sistema en reposo o inercial) y a un año de distancia temporal (por ejemplo una explosión de un supuesto astro). Eliminemos las coordenadas "y" y "z" usando sólo las "x" espacial y "w" temporal. 
Así tendremos que x=0.8 años luz y w=cti=i años luz (un año luz imaginario)
ds será la distancia espacio temporal entre nuestro instante actual (origen de coordenadas (0, 0)) y dicho evento E=(0.8, i)
(ds)2 = 0.82 + i2 =  0.64 - 1 = -0.36  (observemos que aquí Pitágoras nos juega una mala pasada pues la hipotenusa es más corta que los catetos y además es compleja!¡cosas de los números complejos!)

Ahora tomemos como sistema de referencia una nave que pasó al lado de nosotros en dirección a dicho evento a velocidad v=0.6c en el intante (0, 0). Aplicando el grupo de transformación de Lorentz tenemos que
K = (1-0.62)1/2 = 0.8
x' = (x-vt)K = (0.8-0.6)/K = 0.25 años luz
t' = (ct -vx/c2)/K = (1-0.6  0.8)/0.8=0.65 años
w' = ct'i =0.65i años luz
entonces las coordenadas del evento para la nave viajera son E'=(0.25, 0.65i)
y     (ds')2 = 0.252 +(0.65 i)2 =  0.0625 - 0.4225 = -0.36

Así que  (ds)2 = (ds')2 
 

Tenemos así al tiempo como una cuarta dimensión.

    Aparece el mundo de los cuadrivectores, siendo un cuadrivector de un suceso a un vector de 4 coordenadas (x , y , z , cti) que pueden ser utilizados y transformados mediante operaciones, y se entra en el mundo del cálculo tensorial y los invariantes.

    Además podemos simplificar (ds)2 poniendo como dl a las componentes reales del cuadrivector ds. Así tenemos que podemos representar el vector por sus coordenadas ds =(dl, icdt)

y además podemos deducir:

(ds)2 = (dl)2 + (icdt)2 = (vdt)2 - (cdt)2 = (dt)2 (v2 - c2)

y haciendo raíces cuadradas

  .  i  =.  i  = c dt' . i

con lo que observamos que ds es el espacio que recorrería la luz durante el tiempo propio dt’, del objeto en movimiento, en coordenada imaginaria. Lógico pues respecto a si mismo no se mueve y sólo tendrá coordenada temporal ( si en (10) sustituimos dx, dy y dz por 0 obtendremos (ds’)2=(dw)2=(cdt’i)2).


 
 

Veamos ahora casi el único ejemplo de cálculo tensorial de este libro, deduciendo la igualdad entre masa y energía.

Masas en movimiento y energía estudiado por medio de cuadrivectores.

(web optimizada para Microsoft Explorer y Google Chrome, algunos caracteres griegos se verán como latinos en Firefox y Opera)

    Llamemos xµ al cuadrivector correspondiente a un suceso (indicando en negrita que se trata de un vector, y en letra normal cuando se trate de su módulo), cuyas coordenadas serán (x, y, z, cti) = ( l, cti)

    Entonces dxµ será también un cuadrivector, que dividido por dt nos daría un cuadrivector velocidad en función de t, vµ = (v , ci),

pero si lo dividimos por el tiempo propio dt nos dará el llamado “cuadrivector velocidad” uµ (espacio temporalmente hablando).
Como dt= K dt tenemos que:     

cuadrivector velocidad

(siendo K =  y v las componentes reales del vector velocidad visto desde el sistema en reposo)

Podemos ver que la simplificación ha quedado en función de la velocidad v respecto de t.
  
    Multiplicando uµ por la masa en reposo m0 obtengo el cuadrivector momento (o cantidad de movimiento)

pµ = m0 uµ = m0(v, ic)/K            

    De aquí se observa que las componentes reales de pµ son m0v/K = v . m0/K

que para que coincida con el momento lineal ordinario (mv) nos obliga a deducir que

m=m0/K ................(*)

que es la fórmula del aumento de masa con la velocidad.

Si observamos ahora la parte imaginaria de pµ, su cuarta componente, vemos que es m0ic/K, pero aquí esta componente se basa en la componente temporal del espaciotiempo de Minkowski donde el tiempo está expresado como cidt. Si multiplicamos esta expresión ci se convierte en

ci(m0ic/K) = -m0c2/K

que será la expresión de la energía de la partícula, cambiada de signo

E= m0c2/K

Esta expresión nos da la energía cinética más la propia energía de la materia, que es la energía total de un cuerpo, y cuando v=0 tendremos que K valdrá 1, lo que convertirá la ecuación en

E= m0c2 ..... (**)

    Que es la expresión de la energía de una partícula en reposo, o energía de la materia. Esta expresión de equivalencia entre masa y energía es muy útil para calcular la energía liberada en las reacciones nucleares y es lamada "la fórmula de Einstein".

Por último decir en este apartado que la verdadera expresión de la energía cinética vendrá dada por la diferencia entre las dos expresiones anteriores, que tenderá a infinito al acercarse a la velocidad de la luz.

(Expresión que para velocidades bajas se aproxima la Ec clásica.)

    Pero en relatividad hablar de energía cinética es algo que no tiene mucho sentido y lo que se usa para trabajar es la energía total de la partícula, de modo que cuando aumenta la velocidad simplemente se dice que aumenta la masa y por lo tanto la energía total, en vez de decir que ha aumentado la energía cinética.  

Y es curioso como se le llama a E=mc2 "la fórmula de Einstein" y se suele decir que la propuso en 1905 en su segundo artículo sobre relatividad:
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/
cuando allí podemos ver que lo que hace es calcular la variación de energía cinética de un cuerpo que emite dos rayos de luz opuestos, visto por un observador en movimiento, y luego sólo por aproximación a la energía cinética clásica obtiene la relación E=mc2, y sólo más adelante fue demostrado que dicha aproximación correspondía con la expresión exacta.


 
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