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DOPPLER OBLICUO

Si en el caso en que la fuente se mueve, suponemos que lo hace a velocidad v con un ángulo q con la línea que une la fuentey el receptor, tendremos que la velocidad efectiva para el Doppler clásico será v cos q. Entonces la frecuencia medida por el receptor sería en modo clásico f= f0 c/(c-v cos q) y siguiendo el mismo razonamiento que en el caso del Doppler longitudinal se obtiene por la dilatación temporal en la fuente:

.. .... .. ..... ... .... .. ... ( 1)

Pero si es el receptor el que se mueve hacia la fuente con dicho ángulo, tenemos que por Doppler clásico f= f0 (c+v cos q)/c. Entonces aplicando la dilatación temporal en el receptor tenemos que

... .. .. ... ... ......... .. .. .. . (2)

(esta expresión es exactamente la misma que Einstein nos presenta en su famoso artículo "On the electrodinamics of moving bodies" para el caso de un observador que se mueve respecto a una fuente en supuesto reposo, pero él cambió v por -v al considerar que el observador se alejaba de la fuente.)

En este estudio vemos, de momento, que ambas expresiones (1) y (2) no son equivalentes.

 

DOPPLER TRANSVERSAL

Si buscamos el caso más extremo en el que el ángulo es de 90º, tendremos que el cos q vale 0, ye entonces la primera expresión se convierte en

. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . (3)

mientras que la segunda se convierte en

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(4)

Evidentemente en este caso los resultados son muy diferentes según usemos una fórmula o la otra. En el primero la frecuencia medida es menor, mientras en el segundo caso es mayor.

Pero naturalmente sólo una de las dos puede ser correcta.

Aquí tenemos una posible paradoja, o un simple error de cálculo.

Pero ¿cual es la respuesta?

 

LA ABERRACIóN

La respuesta está en la aberración: los observadores fijos para cada sistema de referencia diferirán en la medida del ángulo de la dirección de propagación. (como dice mi amigo José: eso es un efecto clásico: si la lluvia cae vertical y yo empiezo a correr, la lluvia caerá vertical sólo en el sistema "suelo"; en el sistema "yo corriendo" ya no caerá vertical: o inclino el paraguas o me mojo).

Para el caso en que el receptor está en reposo y el emisor se mueve resulta que la frecuencia observada por el receptor difiere si la pregunta planteada es

A) ¿Cual es la frecuencia que mide el receptor cuando "ve" que el emisor está en el punto más cercano de su trayectoria?

o es

B) ¿Cual es la frecuencia que mide el receptor cuando el emisor está en el punto más cercano de su trayectoria?

 

En el caso A el resultado es evidentemente la ecuación (3) pues es el caso de un ángulo de 90º para una fuente que se mueve.

En el caso B la cosa cambia. Aquí resulta que la emisión de los fotones se ha realizado unos instantes antes de que el emisor esté justo perpendicular al receptor. Desde el momento de la emisión de los fotones el emisor ha avanzado un espacio vt la luz perpendicular para la fuentemientras que la luz avanza hacia el receptor un espacio ct con un ángulo q. Así resulta que cos q = vt/ct = v/c , que sustituido en la ecuación (1), (pues lo estamos analizando desde el punto de vista de un receptor en reposo) nos da la expresión:

f= f0 K/K2 = f0/K

o sea la ecuación (4):

El caso que hemos planteado en el que las ondas son perpendiculares desde el punto de vista del emisor es equivalente al caso en el que consideramos al emisor en reposo y al receptor en movimiento. Por esta razón tenemos que la ecuación es perfectamente correcta y NO HAY PARADOJA, ni contradicciones, ni error de cálculo: la frecuencia en el sistema donde el rayo es vertical (sea éste el "estacionario" o el "móvil") es menor que la medida en el otro sistema.

(Volviendo a la analogía de la lluvia: "lo que importa es el elemento que define la situación física (dónde el rayo es perpendicular) y no nuestra elección del sistema "estacionario". Yo no puedo saber si estoy corriendo sobre un suelo en reposo o si es el suelo el que corre y yo estoy en reposo")

No debemos olvidar que el ángulo q es evaluado desde el marco de referencia del emisor, mientras que el mismo ángulo tiene normalmente un valor diferente respecto al sistema de referencia del receptor (q'), y esto puede causar grandes confusiones. Einstein llegó a la fórmula (2) pero cambiando al sistema de coordenadas del receptor llegamos a la fórmula (1). La diferencia entre las dos versiones es debida a la aberración. La ecuación de la aberración relaciona ambos ángulos y es:

Si sustituimos esta expresión en la ecuación de Einstein (la (2)) y simplificamos se obtiene la ecuación (1), por lo tanto ambas fórmulas son equivalentes una vez tenida en cuenta la aberración, o lo que es lo mismo, que el ángulo difiere según quien lo observe y mida.

 

COMPROBANDO EL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA
El efecto Doppler ha sido testado a velocidades suficientemente altas. Por ejemplo Ives y Stilwell en 1938. Lanzaron átomos de hidrógeno a velocidades (respecto al laboratorio) alrededor de 106 m/sec a través de un tubo. Los átomos de hidrógeno calientes emitieron luz en todas direcciones y un receptor estaba situado al otro extremo del tubo. La línea espectral observada estaba desplazada hacia el azul (más frecuencia) en una cantidad dfapproach . También pusieron un espejo en el otro extremo, detrás de los átomos de hidrógeno, para que la luz que emiten "hacia atrás" fuera reflejada y observada también en el mismo receptor. Esta luz esta desplazada pero hacia el rojo en una cantidad dfreceed.
La tabla siguiente es el resultado según su trabajo original de 1938 para cuatro velocidades diferentes (http://mathpages.com/rr/s2-04/2-04.htm reflections on relativity)

 

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