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EFECTO DE SITTER O EFECTO GEODÉSICO

 

En 1916 Willem De Sitter predijo por primera vez un efecto relativista sobre giroscópios en en órbita que implicaba un giro del eje del giróscopio. De SitterEs el llamado efecto De Sitter o efecto geodésico ("geodetic" en inglés).

En principio los giroscópios deberían mantener su eje de giro apuntando siempre al mismo lugar, de modo que un giróscopio, o giróscopo, en un satélite artificial siempre debería apuntar a la misma estrella del firmamento lejano, salvo por el movimiento de esa estrella en el firmamento, aunque el satélite gire alrededor de la Tierra y la Tierra alrededor del Sol. Sin embargo hay dos efectos relativistas que pueden afectar al giróscopo y hacerle apuntar hacia otro lado.

El primer efecto es el arrastre del espacio por el giro del planeta al que orbita el satélite, el llamado "Frame dragging"o efecto Lense-Thirring, y el otro es el llamado efecto geodésico ("geodetic" en inglés) o efecto De Sitter, efectos ambos que afectan al propio sistema de referencia.

De Sitter en 1916 planteó por primera vez dicho efecto, y puede ser visualizado y simplificado pensando en el enlentecimiento temporal que el satélite en órbita sufritá respecto un observador alejado en el espacio, lejos del campo gravitatorio y en un supuesto reposo. Un observador en el satélite sufrirá un enlentecimiento temporal que afectará al giróscopo. Para entenderlo supongamos que el satélite orbita a un agujero negro tan cerca de él que el tiempo se detiene en el satélite visto desde un observador lejano. Entonces el giróscopo se detendrá y toda la imagen dentro de la nave estará "congelada" de modo que el eje del giróscopo irá girando junto a la nave alrededor del agujero negro. El sistema de coordenadas del giróscopo se congela alrededor del agujero negro y gira junto a él apuntando todo el tiempo al mismo punto del agugero negro en vez de al mismo punto del espacio.

Este efecto es proporcional al cambio en el tiempo propio del satélite, siendo muy débil para el caso de un satélite orbitando la Tierra y extremo cerca de un agujero negro. Es un efecto provocado por el enlentecimiento temporal que sufre el satélite tanto por la gravedad del astro que orbita como por la velocidad propia del satélite.

Aplicando la métrica de Schwarzschild tal y como hicimos en el apartado sobre tiempo propio en órbitas circulares se obtiene la expresión

2= (dt)2[1 - 2m/r - v2]

con m= MG/c^2 y v=V/c, que engloba el efecto gravitatorio sobre el tiempo (2m/r) y el de la relatividad especial (v) en una sola expresión, y que se convierte cambiando v por v2 = (ωr)2 = m/r en la marcada con (*)

(dτ)2 = (1 - 3m/r)(dt)2                  (*)

esta expresión en formato estándar queda

(dτ)2 = (1 - 3GM/rc2)(dt)2 

entonces

dt' = dt (1-3GM/rc2)1/2

Así, giro del eje del giróscopo en una rotación del satélite será en radianes

α= 2π - 2π (1-3GM/(rc2))1/2 = 2Π (1-(1-3GM/rc2)1/2)              (**)

esta es la expresión correcta, pero por desarrollo en serie de Taylor y tomando solo los dos primeros términos se puede aproximar a

α= 3Π GM/rc2                            (***)

Con esta fórmula podemos hallar los valores para algunos casos que no sean extremos como las cercanías de un agujero negro, una estrella de neutrones o una enana blanca:

Para la Tierra orbitando al Sol 0,019 segundos de arco al año.

Para un satélite una altura de unos 650 Km orbitando sobre la Tierra, como el Gravity Probe B, 6,6 segundos de arco por año.

probe-b

Llama la atención que esta fórmula (***) sea justo la mitad de la fórmula que usamos para el cáculo de la anomalía relativista del perihelio de Mercurio y de otros planetas, pero no debe ser considerado más que una casualidad pues cada una de las dos fórmulas ha sido obtenida por aproximaciòn por desarrollo de Mc Laurin de expresiones diferentes. Para casos extremos deberemos usar la fórmula (**).

Por ejemplo si la Tierra fuera una estrella de neutrones con la misma masa que ahora podríamos poner un satélite con un giróscopo en órbita solar a una distancia de unos 20 Km del centro y el resultado del efecto geodésico sería de 42,3 grados por vuelta en vez de 39,9 grados por vuelta al sol que indicaría la fórmula ***.

Además es fácil confundir el efecto geodésico o geodético de De Sitter con el efecto de precesión anómala de los planetas debido a que siguen una trayectoria relativista llamada geodésica, pero no tiene nada que ver. En principio bajo la trayectoria geodésica los giróscopos no deberían girar su eje y deberían apuntar siempre a un mismo punto. El efecto De Sitter es justo la deducción de ese giro del eje de los giróscopos que se sumará al efecto del arrastre del espacio o arrastre del sistema de referencia.

 

 

 

 

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