FRENANDO A LA LUZ, comportamiento de la luz en un campo gravitatorio

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    Ya planteé en la página sobre relatividad general que en las cercanías de un astro la velocidad de la luz debe disminuir por el enlentecimiento del transcurrir del tiempo que provocan los campos gravitatorios. Como dije,  esto ha sido comprobado midiendo el tiempo transcurrido desde que se envía una señal a una sonda espacial hasta que se recibe la respuesta. Si la sonda está en conjunción superior con el Sol, las señales pasarán rozando el Sol para ir de la Tierra a la sonda y viceversa, viajando algo más lentas en las cercanías del Sol y produciéndose un retraso respecto a lo previsto. Se ha comprobado con las naves Mariner 6 y 7 y con un retraso estimado de 200 µs se ha cumplido dentro de un error del 3 %.

    Pero aún así es difícil de aceptar para muchos ese "frenazo" de la luz, pues ¿no era c constante?

    Vamos a ver ahora que usando la métrica de Schwarzschild también llegamos al mismo resultado.

Supongamos un rayo de luz que viaja tangencialmente a una supuesta circunferencia trazada alrededor del ecuador de un astro. En este caso dr=0 pues el radio es constante en un diferencial de tiempo, q =p/2 pues la trayectoria es en la latitud del ecuador, y   dq=0 pues q (la latitud) es constante.

Así la ec. de la métrica de  Schwarzschild

se convierte en

(dt)² = (1-2m/r)(dt)² - r²(df)²

y como se trata de un rayo de luz dt=0 lo que implica que

r²(df)² = (1-2m/r)(dt)²

y dividiendo por (dt)²

r²(df)²/(dt)² = 1-2m/r

y como la velocidad de la luz en esta situación tangencial es c_t = rw = r(df/dt)

c_t² = 1-2m/r siendo c_t medida en fracción de c. Por lo tanto tendremos que la velocidad de la luz en fracción de c será

Si pasamos a unidades normales teniendo en cuenta que en este caso 2m/r=2GM/rc²   y llamando c₀ a la velocidad de la luz en vacío y lejos de un campo gravitatorio, tendremos

que es justo el resultado que obtendríamos si simplemente consideramos que al “frenarse” el transcurso del tiempo por el campo gravitatorio se frena la velocidad de la luz. De tal forma que si un rayo de luz pasase rozando al horizonte de sucesos de un agujero negro (r=2GM/c²) dicho rayo de luz en ese punto tendría velocidad cero.
 
 

Por otro lado vamos a calcular igualmente la velocidad de la luz para un rayo que se moviera radialmente respecto al astro.

En este caso tendremos que df=0 y dq=0 y recordemos que dt=0 al ser un rayo de luz. Entonces la métrica de Schwarzschild se convierte en

0 = (1-2m/r)(dt)² – (1-2m/r)^-1(dr)²

que pasando un sumando a la izquierda del igual es

(1-2m/r)^-1(dr)² = (1-2m/r)(dt)²

dividiendo ambos miembros entre (dt)² y despejando resulta

(dr/dt)² = (1-2m/r)²

y como en este caso la velocidad de la luz radialmente es dr/dt = c_r tenemos que en fracción de c

c_r = 1 - 2m/r

y entonces en unidades normales:

c_r = c₀(1 - 2GM/c²r)

con lo que deducimos que un rayo de luz que salga o caiga radialmente a un astro masivo verá disminuida su velocidad en el mismo factor que un rayo tangencial elevado al cuadrado. De una forma u otra tenemos que la presencia de masa provoca que la luz viaje más despacio hasta incluso pararse si se acerca a lo llamado un radio de Schwarzschild (r=2GM/c²)
 

En la analogía de la superficie de goma, aparentemente no apreciamos deformación alguna del espacio-tiempo, pero la realidad es que la masa de un astro deforma el espaciotiempo de modo que la luz tarda más en hacer su recorrido.
Para un observador cerca de M que ve pasar el rayo de luz, no se aprecia freno alguno en la velocidad de la luz, pero para un observador externo la luz tarda más en hacer su recorrido, pero no únicamente por deformación espacial, sino también por "deformación temporal" ya que el tiempo transcurre más lento en las cercanías del astro.

   Estas fórmulas ya son por sí mismas sorprendentes, pero además no puedo evitar pensar que, igual que la luz disminuye su velocidad en un campo gravitatorio, cualquier cosa que caiga hacia una gran masa también se debe ver afectada y ver disminuida su velocidad de caída. Al fin y al cabo nada puede superar la velocidad de la luz y en estos casos la velocidad de la luz tiende a cero.

  Un lector me comenta en el foro de relatividad sobre sus dudas y confusiones respecto a este posible enlentecimiento de la luz en las cercanías de una gran masa, pues ¿No era la velocidad de la luz constante siempre? ¿No va esto en contra de la relatividad en si misma?

He aquí mi respuesta, que creo que puede ayudar a muchos a aclarar ideas:

Respecto a los cálculos de arriba, son demostraciones a partir de la métrica de Schwarzschild que confirman la intuición. Otra cosa es si es medible o no dicha velocidad de la luz.

Lo que se calcula es la velocidad de la luz que un observador externo al campo gravitatorio mediría si pudiera ver la luz de modo "instantáneo". Si pudiera percibirla en su avance por el espacio por algún medio. Eso es imposible, y no se puede percibir igual que tampoco podemos hacerlo en nuestras cercanías (sólo medimos velocidades medias de ida y vuelta por reflexión en un espejo). Es un concepto teórico y no observable, pero con consecuencias como la mayor tardanza de una señal enviada por un satélite que esté al otro lado del sol en línea visual con el borde del Sol y nosotros.

De todos modos es lógico. El tiempo se enlentece por causa de una gran masa, en compara-ción con el tiempo transcurrido lejos de dicha gravedad. Si en la superficie de la Tierra medimos la velocidad de un rayo de luz tendremos que es la prevista: 300000 Km/s . Pero el tiempo transcurre más lento que lejos del campo gravitatorio. ¿Por qué no medimos una velocidad diferente entonces? La respuesta es que "en realidad" la luz viaja más lenta en la superficie de la Tierra pero esto queda compensado por nuestro enlentecimiento temporal dando como resultado la misma velocidad.

Este "en realidad" lo he puesto entre comillas porque lo que tenía que haber puesto es "en comparación con la velocidad de la luz lejos del campo gravitatorio", pues eso de "la reali-dad" puede llevar a confusiones, pues ¿Qué es la realidad?

Por otro lado indico una velocidad diferente de la luz tangencialmente al campo que trans-versalmente al campo. Esto se puede explicar alternativamente porque la métrica de Schwarzschild predice también una contracción de longitudes en dirección al centro del campo gravitatorio. Así tenemos que las distancias se encogen dimensionalmente en esa dirección, pero el observador en dicho campo no lo nota. Así que la velocidad "real o vista desde fuera" debe encoger más aún para que el que mide dicha velocidad en la superficie de la Tierra (por ejemplo) siga midiendo 300000 Km/s.

En el caso de un rayo de luz que se acerca al Sol rozándolo y luego se aleja, sufre ambos efectos a lo largo de su trayectoria y mediante cálculo diferencial se puede calcular el re-traso de la señal, que coincide con la experiencia.

Y para el que está dentro del campo gravitatorio, la velocidad de la luz lejos de dicho cam-po es mayor, pero esto no está en contra de la relatividad, pues dicha persona sabe que está dentro de un campo gravitatorio y que él tiene su luz enlentecida, igual que sabemos que el tiempo transcurre más aprisa en los satélites GPS que en la superficie de la Tierra y por ellos son reajustados constantemente sus relojes.

 

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