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LA GRAVEDAD: TEORíA DE LA RELATIVIDAD GENERAL, de Einstein

    Su teoría de la relatividad restringida sólo era válida para sistemas inerciales (sin aceleración) y Einstein quería hacerla extensiva también a sistemas acelerados. La gravedad tiene algo especial que no tiene ningún otro campo, y es que no podemos anularla ni aislarnos de ella mediante barreras, cosa que sí podemos hacer por ejemplo en campos electromagnéticos. Su omnipresencia nos lleva a pensar que el sistema inercial sin ninguna aceleración de la relatividad especial no existe y sólo nos vale como aproximación.

Como Einstein dijo en 'El significado de la relatividad': "¿Cual es la justificación de nuestra preferencia por los sistemas inerciales frente a todos los demás sistemas de coordenadas, preferencia que parece estar sólidamente establecida sobre  experiencias basadas en el principio de inercia? La vulnerabilidad del principio de inercia está en el hecho de que requiere un razonamiento que es un círculo vicioso: Una masa se mueve sin aceleraciones si está lo suficientemente alejada de otros cuerpos; pero sólo sabemos que está suficientemente alejada de otros cuerpos cuando se mueve sin aceleración

    Todo esto nos lleva a pensar que la gravedad y el espacio están unidos entre si de tal forma que son un solo objeto.

    El problema lo resolvió inspirado por el teorema de igualdad entre masa inercial y gravitatoria (ya comprobado antes de Einstein mediante la experiencia de Eotvos).

Como dijo Einstein: "Es evidente que sólo en el caso de ser numéricamente iguales las masas gravitatoria e inerte resulta la aceleración independiente de la naturaleza del cuerpo"

(Masa inerte).(Aceleración)=(Intensidad del campo gravitatorio).(Masa gravitatoria)

y dos ideas (evidentemente estamos simplificando muchísimo el proceso):

1- El llamado "Principio de equivalencia" entre sistemas de coordenadas acelerados y otros en presencia de un campo gravitatorio (muy vinculado con el teorema de igualdad entre masa inerte y gravitatoria)

2- Aceptando que todo sistema acelerado es inercial localmente en un diferencial de tiempo, de modo similar a lo habitual en física de considerar la velocidad como constante si sólo consideramos un diferencial de tiempo.

Abusando un poco más de las citas a Einstein: "No es posible, por lo tanto, elegir sistemas de coordenadas para las cuales las relaciones métricas de la teoría especial de la relatividad sean válidas para una región finita. Pero el invariante ds existe siempre para dos puntos (sucesos) próximos del continuo."
 

   Aplicando el Principio de equivalencia imaginemos que todo sistema acelerado puede considerarse como un sistema inercial pero situado en un campo gravitatorio. Igualmente podemos asimilar todo punto o región de un campo gravitatorio a un espacio en estado de aceleración. Partiendo de este supuesto y aplicando las ecuaciones de Minkowski, estas se convierten en unas ecuaciones que equivalen a decir que los ejes de coordenadas son curvos; o sea que el espacio se curva hacia la cuarta dimensión en presencia de un campo gravitatorio. De este modo tenemos que el espacio-tiempo ya no es euclídeo, como se suponía en el espacio cuatridimensional de Minkowski de la  relatividad especial, sino que sigue la geometría de Riemann. Por medio de cálculo tensorial se puede llegar a la métrica de Schwarzschild (ver apartado de profundización) que es el caso más simple en la relatividad general y a otras métricas más complejas.

    La conclusión a la que se llega es que la gravedad no es una fuerza en si misma sino que solo es el resultado visible de una deformación del espacio-tiempo a causa de la presencia de una masa. Esta deformación queda definida por las ecuaciones de campo de Einstein y así la gravedad queda reducida a pura geometría.

Gμν=8πGTμν ..........(μ ,ν ) = (0, 1, 2, 3)

estas ecuaciones de campo forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales de 4 dimensiones
y relacionan la geometría del espacio-tiempo (G)
con la distribución de materia y energía (T)
 

    De este modo Einstein dedujo que el espacio se curva alrededor de una masa de tal forma que un rayo de luz que pasara rozando esa masa se desviaría un ángulo que casualmente es justo el doble de lo que lo haría si estuviera afectado por la gravedad desde un punto de vista clásico (como partícula en movimiento newtoniano).

    Así Einstein obtuvo realizando algunas aproximaciones que la desviación en radianes debía ser:

            (10)

que (para GM/c2 = 1475   y   r = 6.96  .  108m ) nos proporciona una predicción de un ángulo de 1,75 segundos de grado en un rayo de luz que pase rozando el sol. (En realidad Einstein hizo en 1911 una primera predicción con la relatividad general inacabada que daba sólo 0,875 segundos pero más tarde en 1915, cuando completó su teoría de la relatividad general, rectificó sus cálculos hasta los 1,75 que resultaron correctos)

En los eclipses solares se ha comprobado que realmente ocurre así (las estrellas situadas al borde del astro se encuentran realmente tras él siguiendo una desviación de 1.7° de media), y aunque en las primeras comprobaciones se obtenían unos errores relativos altos, se han realizado mediciones con radiotelescopios observando cuásar al pasar por detrás del sol y se observa un error menor del 1% respecto a la teoría de Einstein. Esta fue una de las tres predicciones que Einstein realizó para que comprobaran su teoría.
 

    La segunda predicción que realizó fue el demostrar que el eje mayor de la órbita de mercurio (que es elíptica) giraba 43 segundos de arco cada 100 años, aparte de los efectos que producen en su órbita la atracción del resto de los planetas. Este hecho ya había sido observado en años anteriores a la teoría de Einstein y no había podido ser explicado satisfactoriamente. Por fin, con la relatividad general de Einstein, se obtuvo la respuesta a este comportamiento anómalo. Más recientemente ha sido observado este fenómeno de un modo más exagerado en pulsares dobles.

    La tercera predicción fue respecto a los cambios que sufre el tiempo en presencia de un campo gravitatorio. “El tiempo transcurre más despacio dentro de un campo gravitatorio que lejos de él”.

tiempo en campo gravitatorio

Una forma sencilla de calcular la misma fórmula aunque en realidad no sea del todo correcto hacerlo es (en realidad los cálculos correctos se realizan por medio de calculo tensorial en geometría riemanniana o a partir de la métrica de Schwarzschild, pero aquí lo explicamos por el principio de equivalencia) asignar a todo cuerpo en un campo gravitatorio una energía cinética igual a la energía potencial que tendría a causa del campo gravitatorio, lo cual equivale a asignarle a ese cuerpo una velocidad: la velocidad de escape de un campo gravitatorio, con la que un cuerpo en órbita perdería su órbita elíptica para pasar a una órbita parabólica.

    Como Ec=½mv² y Ep=GmM/r obtenemos una velocidad

          (11) siendo G la constante de gravitación universal, M la masa que produce el campo gravitatorio (planeta, astro) y r la distancia desde el centro del astro hasta el punto determinado del campo gravitatorio que estamos analizando. Entonces como toda velocidad produce una disminución del ritmo con que transcurre el tiempoen el seno de un campo gravitatorio también se frenará el tiempo: el tiempo pasará más aprisa en el espacio lejos de toda atracción gravitatoria que por ejemplo en la superficie de la Tierra. Sustituyendo la penúltima ecuación en la última podemos obtener para cualquier astro:           (12)

(Insisto en que este método de obtener la fórmula de la dilatación temporal gravitatoria es poco ortodoxo. Dejémoslo en que simplemente "coincide")

    Este efecto ha sido comprobado hace unos años por medio de relojes atómicos sincronizados, transportando uno de ellos en un avión a elevada altura durante un largo periodo de tiempo y comparando luego ambos relojes. El resultado fue que el reloj que se quedó en tierra atrasó un poco (en 1976 Robert Vessot y Martin Levine enviaron un reloj atómico a un satélite a 10000 Km de altura y comparando con otro en Tierra comprobaron las predicciones de la relatividad general con una precisión superior a un 0,1%). La predicción que realizó Einstein para comprobar esta idea fue que la luz emitida por una estrella debía tener un espectro algo desplazado hacia el rojo, o sea que la luz emitida tendrá una frecuencia menor de lo normal debido a que todos sus electrones vibrarán con más lentitud a causa de sea "detención" parcial del tiempo (redshift gravitatorio).

Este efecto fue comprobado por Pound y Rebka (R.V. Pound, G.A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, p.337) en 1959 comparando la frecuencia emitida por dos fuentes de Fe57, una de ellas situada arriba de una torre de 22 m de altura y la otra abajo. Pound y Rebka midieron un desfase entre las frecuencias de ambas fuentes de 2,5 . 1015 que coincide con un margen de un 10 % con lo predicho por la relatividad general. Posteriormente Pound y Snider mejoraron el experimento logrando una precisión del 1 %. 

CALCULO DE LA RELACIóN ENTRE FRECUENCIAS: corrimiento al rojo gravitatorio.

Dado que el tiempo transcurre a menor ritmo a causa de un campo gravitatorio, la frecuencia de la luz emitida por un átomo ha de sufrir el mismo efecto siendo su frecuencia menor en el mismo factor que el tiempo en la ecuación 12. Así la frecuencia será:                (13)

Así el Sol, por ejemplo debería emitir su luz en una frecuencia ligeramente menor de la supuesta según esta expresión. Este efecto fue medido por primera vez en 1962. (Para el Sol M = 2.0×1030 kg, R = 6.955×108 m, así Δλ/λ = 2.12×10-6)

 Otra comprobación de este enlentecimiento del tiempo se ha realizado midiendo el tiempo transcurrido desde que se envía una señal a una sonda espacial hasta que se recibe la respuesta. Si la sonda está en conjunción superior con el Sol, las señales pasarán rozando el Sol para ir de la Tierra a la sonda y viceversa, viajando algo más lentas en las cercanías del Sol y produciéndose un retraso respecto a lo previsto. Esto se ha comprobado con las naves Mariner 6 y 7 y con un retraso estimado de 200 µs se ha cumplido dentro de un error del 3 %.

Irwin Shapiro en 1964 predijo este efecto por primera vez. El Sol dilataría la duración de la propagación de los rayos al pasar cerca de él.

Por otro lado, haciendo el mismo procedimiento deductivo no estándar que para el tiempo, por la misma equivalencia vista tendremos que las varillas de medir deben encoger en presencia de un campo gravitatorio, lo que  nos lleva a un espacio no euclídeo sino deformado en presencia de una gran masa gravitatoria.

   Estas, las tres predicciones indicadas arriba, son tres predicciones que realizó Einstein cuando publicó su teoría de la relatividad general. A partir de aquí se han deducido otras consecuencias, algunas de las cuales han sido comprobadas y otras aún no. Una de ellas que aún está en estudio es la de los agujeros negros, cuestión que está muy de moda ahora, pero de ello hablaremos en otro artículo.

 Además, de este modo tenemos que ahora, en la relatividad general, la velocidad de la luz ya no es la misma para todo observador en un sistema inercial sino para todo observador en un sistema localmente inercial. Quiero decir con esto que, por ejemplo, la velocidad de la luz sigue siendo la misma para un observador en un campo gravitatorio en las cercanías del observador a pesar que si observamos el fenómeno desde un lugar lejano veremos y mediremos menor velocidad en ese punto, al menos aparentemente (ver apartado sobre enlentecimiento de la luz).

El estudio y comprensión de la relatividad general de Einstein requiere el uso de un aparato matemático verdaderamente complicado, que es el cálculo tensorial. El propio Einstein tuvo que dedicar mucho tiempo de estudio matemático para desarrollar correctamente su teoría, pues con las herramientas de que disponía obtenía resultados erróneos como la primera predicción de la desviación de la luz. A punto de acabar su trabajo publicado en 1915 Einstein escribe: "Quien haya comprendido realmente esta teoría no puede sustraerse a su magia; representa un verdadero triunfo del método del cálculo diferencial fundado por Gauss, Riemann, Chistoffel, Ricci y Levi-Civiter". Nos está diciendo que la teoría es un triunfo y exaltación del cálculo tensorial.

    El uso del cálculo tensorial es excesivo para las pretensiones de este escrito, pero hay herramientas que pueden ayudarnos a introducirnos en los cálculos de la relatividad general como son las métricas para casos concretos. Estas métricas nos describen de modo bastante sencillo la geometría del espaciotiempo y de ellas se pueden sacar muchas conclusiones. Lo que se suele usar habitualmente para tratar la relatividad general en los casos más sencillos es la métrica de Schwarzschild. En la parte de profundización en relatividad general podréis leer una introducción a ella, pero advierto que para entenderla es necesario comprender aceptablemente la métrica de Minkowski, cuya introducción se puede ver en la parte "profundizando en relatividad especial".
 

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