EL FACTOR K, LA DESINCRONIZACIÓN DE LOS RELOJES Y LA INTERPRETACIÓN DE LOS MRLE

(© José García Illa)

(nota: MRLE=Marcos de Referencia Localmente Estacionarios bautizado así por Marcelo Crotti, con quien un largo debate llevó a este documento entre otros, y K = (1-v2/c2)1/2)

 

El objetivo de este trabajo es intentar clarificar en qué casos es posible usar una u otra de las conocidas fórmulas T = T'/K o bien T' = T/K, y cuándo no es posible usarlas. Analizaremos los diversos casos desde el punto de vista de la RE y desde la hipótesis de los MRLE, para demostrar que ambos enfoques son matemáticamente equivalentes.

CÁLCULOS RELATIVISTAS

Consideraremos un sistema de referencia inercial O y otro sistema de referencia O' cuyo origen se mueve respecto al primero a velocidad constante +v, de manera que los ejes X, X' coinciden; por tanto, O' también es inercial. Tomaremos el origen de tiempos de ambos sistemas en el momento en que los orígenes de ambos sistemas coinciden: t = t' = 0 cuando x = x' = 0. De esta forma podremos usar las transformaciones de Lorentz.

Consideraremos ahora dos acontecimientos: el acontecimiento 1, que ocurre en el punto x1 y en el instante t1 del sistema O, que corresponden al punto e instante x'1, t'1 de O'; y el acontecimiento 2, cuyas coordenadas espaciotemporales son x2, t2 en O, y x'2, t'2 en O'. Para cada acontecimiento, las coordenadas de uno y otro sistema se relacionan mediante las transformaciones de Lorentz: mediante las transformaciones directas obtenemos las coordenadas en O' en función de las coordenadas en O, y mediante las transformaciones inversas obtenemos las coordenadas en O en función de las coordenadas en O'. Haciendo K = (1-v2/c2)1/2, tendremos:

x1' = (x1 - vt1) / K

t1' = (t1 - vx1/c2) / K

x1 = (x'1 + vt'1) / K

t1 = (t'1 + vx'1/c2) / K

x2' = (x2 - vt2) / K

t2' = (t2 - vx2/c2) / K

x2 = (x'2 + vt'2) / K

t2 = (t'2 + vx'2/c2) / K

Si queremos saber el lapso de tiempo que pasa en cada sistema entre los acontecimientos 1 y 2, hemos de restar las correspondientes transformaciones temporales; si llamamos respectivamente T y T' a los lapsos temporales en O y en O' (usaremos la convención de indicar con mayúsculas los lapsos temporales o duraciones, y con minúsculas los instantes de tiempo o hora señalada por un reloj) será:

T' = t'2 - t'1 = [(t2-vx2/c2) / K] - [(t1-vx1/c2) / K] = [(t2-t1) - (x2-x1)v/c2] / K = [T - (x2 - x1)v/c2] / K

T = t2 - t1 = [(t'2+vx'2/c2) / K] - [(t'1+vx'1/c2) / K] = [(t'2-t'1) + (x'2-x'1)v/c2]/K = [T' + (x'2 - x'1)v/c2] / K

Ahora consideraremos tres casos diferentes:

Caso 0: caso general

Si los puntos x1, x2 de O son distintos, y los puntos x'1, x'2 de O' también lo son, los acontecimientos 1 y 2 no son copuntuales en ninguno de los dos sistemas, y por tanto, hemos de aplicar las fórmulas de arriba, donde vemos que no se cumple ni T' = T/K ni T = T'/K. Simplemente, hemos de aplicar las fórmulas anteriores sustituyendo los valores de las x y las t (o de las x' y las t'), o bien los valores (x2 - x1) o (x'2 - x'1) si los conocemos.

Caso 1: acontecimientos copuntuales en el sistema O'

Si los acontecimientos son copuntuales en el sistema O', entonces x'1 = x'2, y x'2 - x'1 = 0. Entonces, sustituyendo arriba, será: T = [T' + (x'2 - x'1)v/c2] / K = T'/K.

En este caso, el proceso que tiene por inicio y final los acontecimientos 1 y 2 es copuntual en el sistema O'. Si suponemos que en el punto x'1 = x'2 de O' hay un reloj, este reloj marcará una duración T' para el proceso, que llamamos duración propia. En cambio, los dos relojes de O, sincronizados con todos los relojes de O, situados en los puntos distintos y distantes x1, x2, indicarán para dicho proceso una duración T' que llamaremos duración impropia, estando ambas relacionadas mediante la fórmula T = T' / K.

Caso 2: acontecimientos copuntuales en el sistema O

Si los acontecimientos son copuntuales en el sistema O, entonces x1 = x2, y x2 - x1 = 0. Entonces, sustituyendo arriba, será: T' = [T - (x2 - x1)v/c2] / K = T / K.

En este caso, el proceso que tiene por inicio y final los acontecimientos 1 y 2 es copuntual en el sistema O. Si suponemos que en el punto x1 = x2 de O hay un reloj, este reloj marcará una duración T para el proceso, que llamamos duración propia. En cambio, los dos relojes de O', sincronizados con todos los relojes de O', situados en los puntos distintos y distantes x'1, x'2, indicarán para dicho proceso una duración T que llamaremos duración impropia, estando ambas relacionadas mediante la fórmula T' = T / K.

 

NOTAS ACLARATORIAS

1) Como hemos obtenido primero T = T'/K y después T' = T/K, podría pensarse que esto es contradictorio. Pero en el desarrollo anterior queda claro que ambas fórmulas se aplican a casos (situaciones, procesos, experimentos...) distintos: en la primera, el proceso ocurre en el mismo punto de O', T marca una duración impropia y T' una duración propia; en la segunda, el proceso ocurre en el mismo punto de O, T' marca una duración impropia y T una duración propia. En definitiva, lo que deducimos es que, en ambos casos, "duración impropia" = "duración propia" / K (y esto es independiente de las letras que pongamos), mediante lo cual comprobamos la perfecta equivalencia entre ambos sistemas (podemos aplicar los mismos conceptos sea cual sea el sistema de que partamos), pero la distinta posición de los acontecimientos y procesos en cada caso para cada sistema.

2) En muchos libros sólo aparece uno de los casos, generalmente el primero, haciéndose únicamente una indicación general de la equivalencia de los sistemas. Esto puede inducir a pensar erróneamente que sólo se puede usar T = T'/K, y además en todos los casos en que aparecen expresiones temporales. Nosotros hemos visto en qué casos puede usarse esta expresión y en cuáles no.

 

LA INTERPRETACIÓN DE LOS MRLE

Hasta ahora, no hemos hecho referencia más que a que O y O' son sistemas inerciales cualquiera. Éste es, pues, el tratamiento de la interpretación tradicional de la RE; quien no esté interesado en los MRLE, puede detener su lectura aquí. Pero será interesante ver cómo analizaríamos estos casos desde el punto de vista de la interpretación MRLE. Veremos esto a continuación y demostraremos que ambas interpretaciones son matemáticamente equivalentes.

Admitamos, a partir de ahora, que O = MRLE, es decir, que O se encuentra en reposo en un espacio absoluto, y que O' se mueve a una velocidad REAL +v. Llamaremos REALES (o absolutas) a las medidas que se hacen en el MRLE, y APARENTES (o relativas) a las medidas de O'.

La hipótesis MRLE admite el principio de relatividad, aunque matiza que en O' se cumple de manera aparente. Por tanto, las transformaciones de Lorentz son válidas.

Según la interpretación MRLE, los relojes móviles retrasan REALMENTE en un factor K; es decir, por cada periodo TR de tiempo REAL (absoluto), cada reloj móvil de O' marcará una duración TM = TRK. Pero observemos que los relojes de O' son móviles, es decir, se mueven REALMENTE. Por tanto, la duración TM indicada por cada reloj móvil será la duración propia del proceso "avance de las agujas del reloj móvil", que es copuntual en O', mientras que TR será la duración REAL (absoluta), pero impropia, de dicho proceso, cronometrada por los dos relojes estacionarios que se encuentren en los lugares del MRLE donde las agujas del reloj móvil comenzaron y acabaron su movimiento, y entre los cuales el reloj móvil viaja. Por tanto, la expresión TM = TRK, o bien TR = TM/K expresa también que "duración impropia" = "duración propia" / K, y es, pues, plenamente compatible con los conceptos y las fórmulas de la RE.

Habrá que tener en cuenta, además, la desincronización de los relojes que se deriva de la relatividad de la simultaneidad y que se observa en la transformación de Lorentz: tM' = (t - vxM/c2) / K. Al paso de diversos relojes móviles por puntos diversos xM del MRLE, en un mismo instante REAL t, los relojes móviles marcan horas diversas t'M. Así pues, los relojes estacionarios del MRLE están todos bien sincronizados, mientras que los relojes móviles de O' se encuentran REALMENTE desincronizados.

Caso 1: acontecimientos copuntuales en O'

En este caso, la interpretación MRLE coincide punto por punto con la RE tradicional. Tenemos un reloj en x'1 = x'2, que viaja entre los puntos x1, x2 del MRLE y que retrasa REALMENTE en un factor K. El acontecimiento 1 es la salida de este reloj desde el punto x1, y el acontecimiento 2 es su llegada a x2. Este reloj es cronometrado por dos relojes en reposo absoluto situados en los puntos x1, x2, que marcan el tiempo REAL y además marchan sincronizados y cronometran una duración REAL del viaje TR = t2 - t1 = T. En cambio, la duración medida por el reloj móvil será TM = t'2 - t'1 = T'. Aplicando la fórmula del retraso REAL del reloj móvil TM = TRK, obtenemos T' = TK. Es decir, el proceso copuntual en O' tiene una duración REAL T marcada por los relojes en reposo absoluto, mientras que el reloj de O' en movimiento marcará una duración T' = TK, que coincide con la hallada mediante la interpretación relativista tradicional.

En este caso no necesitamos tener en cuenta la desincronización de los relojes del sistema O', pues estamos considerando un único reloj móvil.

Caso 2: acontecimientos copuntuales en O

En este caso tenemos un único reloj estacionario, situado en el punto x1 = x2 del MRLE, punto que llamaremos simplemente x1. Un observador en ese punto ve pasar sucesivamente dos relojes móviles, los situados en los puntos x'1, x'2 de O'; los llamaremos reloj 1 y reloj 2. Los acontecimientos 1 y 2 son los sucesivos pasos de dichos relojes, situados en los puntos x'1, x'2 de O', por ese punto del MRLE.

Consideraremos que el reloj 1 pasa antes (en los instantes t1 del MRLE y t'1 del sistema O') que el reloj 2 (instantes correspondientes t2, t'2) para poder tomar las cantidades TR = t2 - t1 = T (lapso REAL, absoluto, entre ambos pasos) y T' = t'2 - t'1 (lapso medido en el sistema O'), como positivas. Cada uno de los relojes móviles retrasa REALMENTE en un factor K, al ser cronometrados (cada uno) por el sistema de relojes estacionarios sincronizados; es decir, marcarán duraciones TM = TRK para lapsos REALES TR. Pero, evidentemente, si tomásemos ingenuamente T' = TM = TRK, obtendríamos un resultado erróneo (T' = TK), que no coincidiría con el de la RE (que, recordemos, es T' = T/K). Para obtener el resultado correcto, hemos de tener en cuenta que T' (la duración del viaje en O') es la diferencia entre lo que marcan los relojes 1 y 2 a su paso por el punto x1 del MRLE (T' = t'2 - t'1); pero ambos relojes 1 y 2 pertenecen al sistema móvil O', y ambos no sólo retrasan, sino que también van desincronizados REALMENTE en relación con los relojes del MRLE. Por tanto, T' no puede ser simplemente igual a TM, puesto que t'2 no es simplemente t'1 + TM. Para hallar t'2 deberemos sumar TM al tiempo que señale el reloj 2 en el instante REAL t1, cuando el reloj 1 pasa por el punto x1.

Consideraremos, pues, que en el instante REAL t1 (instante del acontecimiento 1 en el MRLE), el reloj 2 se encuentra en un punto REAL xn, pero marca un tiempo desincronizado t'n, distinto de t'1, que es lo que marca el reloj 1. El paso del reloj 2 por xn es un acontecimiento cuyas coordenadas espaciotemporales REALES son xn, t1, y podremos por tanto aplicar la transformación de Lorentz para hallar t'n = (t1 - vxn/c2) / K. Sabemos también que en ese instante REAL el reloj 1 marca t'1 = (t1 - vx1/c2) / K, luego podemos restar: t'n - t'1 = [(t1 - vxn/c2) / K] - [(t1 - vx1/c2) / K] = - [(xn - x1)v/c2] / K. Ésta es la conocida fórmula que da el "desfasaje" o "defecto de simultaneidad", entre relojes de O', para acontecimientos simultáneos en el sistema O distantes en este sistema, separados por una distancia positiva (x1 - xn) medida en O. El signo menos significa que si avanzamos hacia la izquierda en el eje X, tomando entonces la cantidad negativa (xn - x1), encontraremos relojes con lecturas cada vez más altas (t'n > t'1).

Ahora tendremos en cuenta que el reloj 2 recorre la longitud REAL positiva (x1 - xn) a una velocidad v en un tiempo real T = t2 - t1. Por tanto, será x1 - xn = vT, de donde xn - x1 = -vT. Sustituyendo arriba, tenemos: t'n - t'1 = -[(xn-x1)v/c2]/K = -[(-vT)v/c2] / K = (Tv2/c2) / K, de donde deducimos t'n = t'1 + (Tv2/c2)/K.

Ahora ya sabemos lo que marcaba el reloj 2 en el momento REAL t1, cuando el reloj 1 marcaba t'1, y podemos sumar a ese valor el lapso medido por el reloj 2 en su viaje desde xn a x1. Como hemos visto, el reloj móvil 2 retrasará REALMENTE en un factor K respecto al cronometraje que le realicen los dos relojes fijos sincronizados situados en xn y x1. El final de este viaje es el acontecimiento 2 (paso del reloj 2 por el punto x1 = x2); los relojes estacionarios cronometrarán una duración TR = t2 - t1 = T, mientras que el reloj 2 experimentará una duración (propia) TM = TRK = TK. Pero como en el inicio del viaje el reloj 2 no marcaba t'1 sino t'n, habrá que sumar ambas cantidades, t'n más TM para hallar t'2, que es lo que marcará el reloj 2 a su llegada a x1. Por tanto: t'2 = t'n + TM = t'1 + (Tv2/c2)/K + TK, de donde T' = t'2 - t'1 = (Tv2/c2)/K + TK = (Tv2/c2 + TK2) / K = T(v2/c2 + K2) / K = T(v2/c2 + 1 - v2/c2) / K = T / K.

Como T es el lapso REAL (medido en O = MRLE) entre los acontecimientos 1 y 2, mientras que T' es el lapso medido en O', hemos obtenido T' = T / K, resultado que coincide con el que habíamos hallado anteriormente para este mismo caso desde el punto de vista de la RE tradicional. Esto demuestra que la interpretación de los MRLE es matemáticamente equivalente a la RE, puesto que en ambos análisis se obtienen los mismos resultados observables. En la interpretación MRLE, la combinación del "retraso REAL de los relojes en movimiento" (correspondiente a la duración propia de su viaje entre dos relojes estacionarios) más la "desincronización REAL de los relojes móviles", produce el mismo resultado que en el análisis RE ortodoxo mediante la aplicación directa de la fórmula relativista T' = T / K, donde T corresponde a la duración propia del proceso copuntual en el sistema O, ya que dicha fórmula, deducida directamente de las transformaciones de Lorentz, incorpora ya los dos efectos que la interpretación MRLE tiene en cuenta.

Los partidarios de la interpretación MRLE considerarán el análisis de este apartado como "la explicación" de los resultados observables, quizá más intuitiva y acorde con el sentido común ordinario, mientras que los que no se sientan a gusto con la interpretación MRLE y prefieran atenerse a la RE tradicional podrán prescindir del espacio absoluto y considerar simplemente dos sistemas inerciales O, O' en movimiento relativo; pueden entonces interpretar los términos REAL (o absoluto) como "medido en el sistema O", y APARENTE como "medido en el sistema O' ", y leer toda la argumentación anterior desde un punto de vista estrictamente relativista; desde este punto de vista, el análisis de este apartado es otra manera más de obtener los mismos resultados. Ambas interpretaciones son, pues, matemáticamente equivalentes.

Caso 0: caso general

Queda por considerar el caso general, en que los acontecimientos no son copuntuales en ninguno de los dos sistemas. En este caso podríamos hacer también un análisis pormenorizado desde el punto de vista MRLE, teniendo en cuenta el retraso REAL y la desincronización REAL de los relojes móviles.

Sin embargo, en el caso general parece más cómodo aplicar directamente las transformaciones de Lorentz como en la interpretación tradicional, ya que éstas son plenamente válidas también desde el punto de vista MRLE. En ambos análisis obtendríamos también los mismos resultados, como en los casos anteriores.

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