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UNA DEDUCCIóN SENCILLA DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ (o transformaciones de Lorentz) y dos usos

    Aunque dije al principio que no las usaría, no puedo resistir la tentación de exponer aquí a las famosas transformadas de Lorentz deducidas de un modo sencillo y relacionado con el modo anterior de hacer deducciones.

    Pero primero hagamos una introducción:

    Galileo (absolutista total ya que no se había descubierto aún contracciones de metros ni dilataciones temporales) dedujo que si tengo un sistema en reposo A y otro en movimiento B  (a velocidad v respecto de A a lo largo del eje x), y si las coordenadas de un punto del espacio para A son x,y,z  y para B x',y',z', se puede establecer un conjunto de ecuaciones de transformación para el cambio de coordenadas bastante sencillo.

    Así, si quiero hallar las coordenadas de A a partir de las de A' tengo las ecuaciones

z=z'
y=y'
x=x' + vt


    Este conjunto de tres ecuaciones son la trasformación de Galileo o TRASFORMADAS DE GALILEO.

    Pues bien, Lorentz a partir de su famosa contracción de longitudes dedujo que algo cambiaba: (en realidad lo hizo de otro modo, pero para nosotros será suficientemente válido ya como para el sistema en movimiento sus longitudes son más cortas, sus varas de medir también lo serán y las distancias del sistema en reposo parecerán mayores dividiéndose por K)

z'=z
y'=y
x'=(x - vt)/K

(siendo K =  )

    Pero nos falta aún ver que pasa con la coordenada temporal. En la época de Galileo t=t' pero ahora ya no podemos ser tan optimistas. Lorentz dedujo sus ecuaciones de transformación tratando de hacer que las ecuaciones de Maxwell se mantuvieran invariantes con el cambio de sistema de coordenadas, pero nosotros las deduciremos a partir del postulado de la constancia de la velocidad de la luz.

    Para aclarar lo anterior y lo que ocurre con el tiempoconsideraremos un sistema de referencia A en supuesto "reposo" y otro B en movimiento uniforme a lo largo del eje x de A (con velocidad v). Partimos de una situación en la que ambos sistemas están superpuestos en un instante t0=0.

Entonces un rayo de luz es disparado desde el origen de coordenadas de A (que coincidía con el de B en t=t'=t0=0) a lo largo del eje X y en un punto de coordenada x respecto a A un detector percibe el rayo de luz en un instante t para A (y t' para B).

    Esta detección ocurriría, desde el punto de vista de A, en una coordenada x - vt del sistema B. Pero por culpa de la contracción de longitudes de Lorentz tendremos que para B sus reglas de medir son menores y por lo tanto esa coordenada x' será mayor en un factor 1/K siendo K=
    Entonces (como indicábamos arriba)

x' = (x -vt)/K          (6)

    Por otro lado por el principio de relatividad, tenemos que ambos observadores deberían medir la velocidad para los rayos de luz, por lo que ha de ocurrir que  x = ct   y que   x' = ct' .

    Sustituyendo x' por ct' , x por ct   y   t por x/c      en (6) se obtiene    ct' = (ct - vx/c)/K       , y despejando t' sale:

t' = (t - vx/c2)/K               (7)

 

Así tenemos que (6)  y  (7) junto a  y'=y     y     z'=z   constituyen el llamado grupo de transformación de Lorentz (Más vulgarmente : TRASFORMADAS DE LORENTZ PARA CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA)

Ahora el cambio de coordenadas ya no es el galileano sino

x' = (x -vt)/K   
y'=y
z'=z
t' = (t - vx/c2)/K

 siendo t y t’ los tiempos relativos transcurridos para cada sistema de coordenadas.

 

Este grupo de transformación de coordenadas es importantísimo para la relatividad, pues a pesar de haber sido deducido previamente por Lorentz, se deduce también a partir de los postulados de la relatividad. Se podría decir que la relatividad se puede deducir de estas transformadas y a la vez que estas trasformadas se deducen de la relatividad. Si bien estas fueron deducidas antes por Lorentz, fue Einstein el que desarrolló plenamente el principio de relatividad. Para apreciar mejor esta relación observemos un par de detalles y deducciones a partir de las transformadas.

 

APLICACIÓN 1: Un detalle sobre la constancia de la velocidad de la luz para todo sistema de referencia inercial:

    El modo en que hemos deducido las transformadas de Lorentz nos lleva a la evidencia (evidente ya que hemos partido de esa premisa para deducirlas) de que a partir de ellas podemos deducir que la velocidad de la luz es invariante para todos los sistemas de referencia inerciales. Veamos como:

    Partiendo de la misma situación que hemos puesto al principio de este apartado tenemos que x=ct y por lo tanto t=x/c. Y además A puede medir la velocidad de la luz calculando c=x/t y B también la podrá medir calculando c'=x'/t'

sin embargo si ahora usamos las dos transformadas de Lorentz importantes
x' = (x -vt)/K     (6)     y        t' = (t - vx/c2)/K  (7)

multiplicamos (7) por c y sale    ct'=(ct-vx/c)/K   y si sustituimos ct por x   y   x/c por t, y tenemos     ct'=(x-vt)/K

cuyo término de la derecha es igual al de la derecha de (6) y por lo tanto por igualación tenemos que  x'=ct'
entonces despejando tengo que x'/t'=c

y como x'/t'=c' tenemos que c=c'

¡Se concluye entonces de las transformadas de Lorentz que todo sistema de referencia inercial medirá la misma velocidad de la luz!

 
Lo último expuesto se basa en una medida de la la velocidad de la luz en un trayecto sólo de ida. Esto hecha por tierra muchas teorías anti-relatividad que dicen que la velocidad de la luz es sólo constante en trayectos de ida y vuelta y no en trayectos sólo de ida o sólo de vuelta, pero que sin embargo aceptan las trasformadas de Lorentz. 
Está claro que si aceptan las transformadas de Lorentz deben aceptar también la invarianza de la velocidad de la luz, y si no lo hacen tampoco pueden aceptar las transformadas de Lorentz y sus consecuencias

APLICACIÓN 2:    Otro detalle es que de las transformadas de Lorentz se puede obtener la famosa fórmula de la dilatación temporal (4), veamos como:

Supongamos un reloj en el origen de coordenadas del sistema móvil B y analicemos que pasa para ese objeto; es evidente que para este reloj x’=0 y x=vt.
Entonces la transformada cuarta (7) se convierte en t' = (t - v2t/c2)/K y sacando factor común t   t'=t(1-v2/c2)/K, y como nuestro K es  podemos simplificar y obtener t'=tK o sea

 

(t' es t contraída o t es t' dilatada)

Esta es justo la fórmula de la dilatación temporal que dedujimos a partir de la experiencia de Michelson y el principio de relatividad, que como podemos ver se obtiene perfectamente a partir de las transformadas de Lorentz..

 

Y también se puede deducir a partir de estas transformadas el teorema de adición de velocidades, como expongo en el siguiente apartado
 

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