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DERIVACIóN DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ AL ESTILO EINSTEIN

Uno de los pilares del establecimiento de los principios de relatividad y de constancia de la luz por parte de Einstein es el hecho de que a partir de ellos se pueden derivar las Transformadas de Lorentz.

Veamos como las deriva Einstein en su libro "Sobre la Relatividad Especial y General", con algunos pasos y explicaciones extra para mayor simplicidad.

Consideremos el par de sistemas de coordenadas de la imagen. Sean x, y, z, t las coordenadas de un evento en el sistema K y x', y' z' y t' las coordenadas del mismo evento en K'.

Partimos de un instante en el que los orígenes de coordenadas coinciden y K' se mueve a velocidad v respecto de K. En ese instante t=0, t'=t, x=0, x'=0

Consideremos un rayo de luz que parte de los orígenes de coordenadas en el momento en que ambos coinciden.

Para el evento correspondiente al instante en que ha transcurrido un tiempo t, este rayo de luz, avanzando a lo largo del eje x positivo, para el sistema K cumple la ecuación

x = ct

o lo que es lo mismo                                 x - ct  =  0                               (1)

pero por el postulado de la constancia de la velocidad de la luz para todo sistema inercial de referencia, para el sistema K' se cumplirá.                                                  x' - ct' = 0                                    (2)  

Dado que se trata del mismo evento, se puede hacer

 x - ct  = λ(x' - ct')                  (3)

Igualmente si el rayo de luz hubiera sido emitido a lo largo del eje x negativo (y el evento se situara en coordenadas de x negativas), se podría poner

 x + ct  = µ(x' + ct')                 (4)

Estas expresiones (3) y (4) relacionan las coordenadas de un evento en los dos sistemas de referencia K y K'. Poniendo como condición que ambas expresiones han de cumplirse para todo evento, si averiguamos las constantes y aislamos x' y t' podremos tener un grupo de transformación de sistema de coordenadas básico.

Si sumamos las dos últimas expresiones tenemos

2x' = λx - λct + µx + µct

y despejando x'

x' = x(µ + λ)/2 + tc(µ - λ)/2

igualmente si en vez de sumar restamos la segunda menos la primera obtenemos

ct' = x(µ - λ)/2 + tc(µ + λ)/2

como µ y λ son constantes, podemos sustituir (µ + λ)/2 por la constate a y -(µ - λ)/2 por la constante b.

Así se obtiene el sistema

Para hallar el valor de estas constantes a y b haremos algunos cálculos.

Primero tomaremos el caso de un observador que se mueve junto al origen de coordenadas del sistema K', que se desplaza a velocidad v a lo largo del eje x. En este caso se cumple siempre que x'=0. Si sustituyo x' por este valor en el primera ecuación del sistema (5) obtenemos despejando x

x = bct/a que pasando t a la izquierda da x/t = bc/a

como x/t marca en este caso la velocidad v, podemos poner

 v=bc/a, o sea que b/a = v/c                     (6)

Además tenemos que por el principio de relatividad una unidad de longitud de una regla de medir en reposo en el sistema K' vista desde K ha de tener la misma longitud que una longitud de medida en reposo en K' vista desde K.

 Así para determinar como K verá esta unidad de longitud de K', tomaremos una "foto instantánea" de dicha regla en el instante t=0. Sustituyendo t=0 en la primera de las ecuaciones de (5) sale

 x' = ax, o sea x = x'/a,

con lo que dicha unidad de longitud de K' será observada por K como

1/a                                                    (7a)

Para determinar como K' verá la unidad de longitud de K tomaremos una foto en el instante t'=0. Sustituyendo en la segunda ecuación de (5) tenemos  0 = act - bx que despejando t da t  = bx/ac.

Sustituyendo esta última expresión en la primera ecuación de (5) tenemos

x' = ax - bcbx/ac = ax - xb2/a = ax(1 - b2/a2)

y sustituyendo b/a por v/c según (6), tenemos

x' = ax(1 - v2/c2)

con lo que la unidad de longitud de K será observada por K' como

a(1 - v2/c2)                              (7b)

Dado que por el principio de relatividad (7a) ha de ser igual a (7b) tenemos

1/a = a(1 - v2/c2) y despejando a tenemos que

a2 = 1/(1 - v2/c2)                           (7c)

Retocando (5) y luego sustituyendo (6) y (7c) se obtiene

x' = a(x - bct/a) = a(x - vt)

t' = a(t - bx/ca) = a(t - vx/c2)

o sea las ecuaciones claves de las Transformadas de Lorentz

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