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TIEMPO PROPIO EN ÓRBITAS CIRCULARES, y detención del tiempo (o dilatación temporal).

 
Se suele derivar el tiempo propio en órbitas circulares dividiendo el problema en componentes separados, uno respecto a la relatividad especial, y otro respecto el efecto gravitacional. Sin embargo, la teoría general incluye a la teoría especial y así el cálculo es más exacto.
La métrica de Schwarzschild para un cuerpo esférico sin rotación con radio de Schwarzschild igual a 2m es:
donde Φ= longitud y θ= latitud (por ejemplo θ= 0 en el Polo Norte y θ= π/2 en el ecuador).

En una órbita circular tendremos que nuestra posición radial r y nuestra latitud θ serán constantes y por lo tanto dr y dθ valdrán cero, quedando
Si nos situamos en la superficie de la tierra en el Polo Norte, tenemos dΦ= 0, así que tendríamos
dτ = dt

Pero en una órbita ecuatorial de radio r tenemos que θ= π/ 2, sin2(θ) = 1, y así que tenemos

(dτ)2 = (1 - 2m/r)(dt)2 - r2 d(Φ)2 =(1 - 2m/r)(dt)2 - (dt)2r2 d(Φ)2/(dt)2= 
= (dt)2[1 - 2m/r - r2 d(Φ)2/(dt)2] = (dt)2[1 - 2m/r - ω2r2] 

y entonces

dτ2= (dt)2[1 - 2m/r - v2]

Esta expresión engloba el efecto gravitatorio (2m/r) y la relatividad especial (v2) (con v está expresada en fracción de c). (Recordemos, con m=MG/c2)

Como podemos ver, para valores de r muy grandes o si m vale cero, la expresión deriva a la de la relatividad especial, y para el caso de v=0 se convierte en la del tiempo para el polo.

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A partir de aquí esta expresión se puede modificar. En este punto se suele decir que v2 = (ωr)2 = m/r por ser según la ley de Kepler ω2 r3 = m con lo que
(dτ)2 = (1 - 3m/r)(dt)2                  (*)

Esta será la expresión que relaciona tiempo propio y tiempo estándar para un objeto en órbita circular.

Aquí se puede observar una consecuencia muy curiosa, y es que para r<3m los tiempos propios serían imaginarios y el tiempo se detendría para este objeto antes de llegar al horizonte de sucesos, pero hemos de tener en cuenta que hemos sustituido "v2" por m/r en virtud de la ley de Kepler. No hemos tenido en cuenta un detalle sobre las velocidades en estas situaciones.

Debemos plantearnos otra posibilidad.

Ya sabemos que la velocidad de la luz en trayectoria tangencial se frena según la expresión (tomando como medida de velocidad la de la luz)

que es exactamente en la misma proporción en la que se "frena" el transcurrir del tiempo y además hemos usado la ley de Kepler w2r3 = m para sustituir en nuestras ecuaciones. Pero ¿es válida esta ley para zonas en las que el campo gravitatorio es muy intenso (como en las cercanías de un agujero negro)?

Debemos considerar que, igual que la luz se frena al pasar cerca de una gran masa, todo objeto se frenará igualmente en la misma proporción siendo su velocidad menor. De tal forma que incluso se detenga al llegar al radio de Schwarzschild, igual que le pasa a la luz. Si no fuera así podría pasar que la velocidad v (que es observada desde un sistema de referencia lejos de la masa) superara a la de la velocidad de la luz en ese punto (también vista desde un observador lejano).

Así la velocidad "real" V podría sustituirse, suponiendo que todo velocidad se verá afectada en la misma medida que la luz, por la teórica (en función de m y r) multiplicada por K

V = v K

siendo K = 

y entonces v2 ya no es m/r sino (m/r)K2 = (m/r)(1 - 2m/r) = m/r - 2m2/r2
de modo que para r = 2m tenemos que V = 0

justo como cabría de esperar que ocurriera por el efecto detención temporal en el horizonte de sucesos.

Así la fórmula de (dτ)2 se convierte en

(dτ)2= (dt)2[1 - 2m/r - V2] = (dt)2[1 - 2m/r - m/r + 2m2/r2] =

(dτ)2 = (dt)2[1 - 3m/r + 2m2/r2]

Esta sería la expresión correcta que relacione tiempo propio y tiempo estándar para un objeto en órbita circular en función de m y r.

El factor 2m2/r2 es despreciable frente a 3m/r para distancias lejanas a 2m pero para r = 2m tenemos que

(dτ)2 = (dt)2[1 - 3/2 + 1/2] = (dt)20 = 0

como cabía de esperar.

Por ejemplo para el caso de la estación espacial internacional tenemos que m/r = 6.68 . 10-10
y entonces el tiempo propio es dt por 0,99999999899799999994422199994411
en vez de por 0,999999998997999999497997999496994 (según (*)) cuya diferencia es del orden de 4 . 10 -19
que nos da una diferencia de 1.4 . 10 -11 segundos al año, que no es importante, aunque medible con relojes de la precisión adecuada.

Pero si trata de las cercanías de un agujero negro esta diferencia aumenta significativamente y tal vez lleve a consecuencias interesantes sobre la naturaleza de éstos. Una posible consecuencia de considerar esta detención de los movimientos en el horizonte de sucesos puede llevar a plantearnos la existencia de agujeros negros no puntuales.

 

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