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LA PARADOJA DE LOS GEMELOS EXPLICADA CON LíNEAS DE UNIVERSO y cálculos (la ayuda de las líneas de universo es prescindible)  

    Supongamos dos gemelas "Rosa" y "Verde" (creo que será más divertido con gemelas). Rosa se queda en la Tierra mientras que verde parte hacia una estrella Q situada a 4 años luz. El viaje se realiza a 0,8c, de modo que entre la ida y la vuelta Verde tardará 10 años.

Por la relatividad especial tenemos que el tiempo de quien se mueve se "frena" en un factor §=raiz(1-v^2/c^2) y así §=raiz(1-0,8^2/1^2)=0,6 , o sea que relativamente hablando Verde solo tardará 6 años de tiempo propio en ir y volver, volviendo más joven que Rosa.

La visión del fenómeno se puede representar en un gráfico espacio-tiempo (e-cti) poniendo en el eje Y un supuesto espacio complejo cti. La línea que recorre cada persona es su "línea de universo". Evidentemente la máxima inclinación de una línea respecto al eje Y será de 45 grados pues la velocidad de la luz es la máxima. Así desde el punto de vista de Rosa, tenemos el siguiente diagrama e-t (cada punto representa un año).

 

Podemos ver que cuando Verde llega a Q, para Verde han pasado 3 años mientras para Rosa han pasado 5 años, y cuando Verde vuelva la Tierra habrán pasado 6 años para Verde y 10 para Rosa.

Pero según el punto de vista de Verde durante el trayecto de ida ( y de una partícula acompañante a Verde que siguiera en línea recta después de llegar a Q) el diagrama e-t es diferente:

Para empezar, para Verde y su partícula acompañante la Tierra es la que se aleja a velocidad 0,8c (y Q se acerca a Verde a velocidad 0,8c) y la distancia entre la Tierra (O) y Q ha encogido en un factor de 0,6 (siendo ahora de 4x0,6=2,4 años luz) ya que podemos considerar una regla que una las dos estrellas y que se mueva con velocidad 0,8c contraída por efecto relativista.

Así al final de la ida cuando Verde llega a Q, para Verde y su partícula acompañante han pasado 3 años (2,4/0,8=3) mientras que para Q y para la Tierra sólo han pasado 3x0,6=1,8 años (trazar una horizontal en Q y ver donde corta a la línea Rosa).

Una vez llegada a Q, verde ha girado 180 grados y el gráfico es sólo válido desde el punto de vista de la partícula acompañante ya que Verde se aleja ahora de dicha partícula a una velocidad según el teorema de adición de velocidades, que es w=(u+v)/(1+uv/c^2)=(0,8+0,8)/(1+0,8x0,8/1^2)=0,975609756, o sea a 0,975609756c ¡casi la velocidad de la luz!

Para la partícula viajera resulta que ahora Verde tiene un tiempo "frenado" en un factor de §=0,219512195 , aún más lento que Rosa que lo tiene en 0,6 (esto hace que los puntos verdes estén muy distanciados (gran enlentecimiento temporal -time dilation)) .

El cálculo del tiempo que tarda Verde en volver a la Tierra según la partícula viajera puede resultar lioso, pues el sistema Tierra-Q se mueve y la velocidad de Verde es relativa, salvo si usamos un truco para hacerlo de modo correcto y rápido. Es a partir del tiempo de 3 años que sabemos que Verde cronometrará en la vuelta.

De este modo los tres años que Verde cronometra que tarda en volver a la Tierra son para la partícula viajera más: 3/0,219512195 = 13,6666 años. O sea que según la partícula viajera Verde tarda 13,6666 años en volver a la Tierra, pero por su cambio temporal Verde tarda sólo 3 años en volver en tiempo propio.

Y este tiempo transcurrido para Rosa, al tener el tiempo más lento que la partícula viajera en 0,6, será 0,6*13,66666=8,2 años.

Así que desde el inicio de la aventura Verde tarda 3+3= 6 años de tiempo propio en ir y volver y Rosa vive en ese periodo 1,8 + 8,2 = 10 años.

Justo lo mismo que cuando supusimos que el reposo estaba en la Tierra. Justo lo que ocurre en realidad.

La RE da el mismo resultado para esta experiencia tomemos el sistema de referencia que tomemos como en reposo. NO hay paradoja.

 

Aún así, después de ver esta demostración de la relatividad, alguno puede decir que la paradoja no se ha resuelto., y que la paradoja se le genera a Verde que, durante todo el trayecto observa a su hermana más joven, a tal punto que espera encontrarla sólo 3.6 años más vieja cuando regresa, pero descubre que Rosa es 10 años más vieja cuando se para al lado de ella.

Pues bien. Mi respuesta es que Verde no sabe que la RE le dice que lo que observe no sirve de mucho pues ha cambiado de sistema inercial a mitad de trayecto, y que tenía que haber hecho los cálculos como los hemos hecho en estos mensajes y calcular que Rosa envejece 10 años.

O sea, que la respuesta a la paradoja es que Verde está usando mal la RE y por eso le salen paradojas. Lo que Verde crea u observe (al aplicar la RE como si no hubiera cambiado de sistema de referencia inercial) cuando en realidad sí lo hecho, que sucede en Rosa no tiene mucho valor, tal vez no haya que confundir "observar" con "ser".


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MáS ALLá, especulando

Los análisis que he encontrado sobre el tema se quedan aquí o en menos (simplemente diciendo que no hay simetría y que el trayecto de Verde no es inercial y por eso no hay paradoja de los gemelos), unos tres párrafos arriba, pero voy a arriesgarme y trataré de avanzar un poco más y ver que le pasa a Verde durante el trayecto de vuelta ¡desde su propio punto de vista!

Desde el punto de vista de Verde durante el trayecto de vuelta desde Q el diagrama es el siguiente:

Verde está ahora viajando de Q a O y tardará 3 años, igual que en la ida.

Así que concluimos que Verde tarda 6 años en hacer el recorrido total previsto ¡igual que desde el punto de vista de Rosa! mientras vemos en el gráfico que Rosa tarda 10 años.

Con esto parece que la paradoja queda resuelta. Todo sistema de referencia inercial es equivalente. Verde es inercial a la ida, Verde es inercial a la vuelta, pero durante el giro ....
 

    Sólo hay un problema: antes del giro, según el punto de vista de Verde habían transcurrido 1'8 años para Rosa, mientras que después del giro (si trazamos una horizontal por Q podemos verlo) para Rosa sólo quedan 1,8 años para que llegue Verde a la Tierra (lógico puesto que el tiempo de Rosa es más lento según Verde). Esto suma sólo 3,6 años para Rosa.

    Sólo se me ocurre una explicación para salvar la situación: Parece que HA HABIDO UN SALTO TEMPORAL respecto a la vida de Rosa vista según Verde, producido por el cambio de dirección a velocidades cercanas a la de la luz. Gráficamente podemos verlo como un giro de casi 45 grados en el sistema de referencia espacio-temporal. Cuando Verde gira, gira su sistema de referencia pero no como lo haría de un modo galileano, ya que ha girado 180 grados en este modo.

    El "salto temporal" o desplazamiento temporal hacia delante respecto a su percepción de Rosa es en realidad una cuestión de simultaneidad. Las líneas horizontales que hemos trazado marcan los puntos de simultaneidad para el sistema, y durante el giro la línea de simultaneidad de Q irá variando su punto de corte con la línea rosa produciéndose durante este giro un avance en la percepción del tiempo de Rosa por parte de Verde. Se podría decir que Verde "percibirá" de modo comprimido todo lo sucedido en Rosa durante ese "salto" de tiempo.

    De todos modos debemos tener en cuenta que lo que cambia no es el tiempo de Rosa sino la percepción que de éste tiene Verde, o mejor dicho la que cree que tendría si pudiera ver de modo instantáneo a Rosa, cosa que por otro lado nunca podrá hacer pues las señales que reciba siempre tendrán como máximo la velocidad de la luz.

    Con esto se explica toda paradoja posible de gemelos y sin restringir las comparaciones del experimento mental a los sistemas inerciales (principio de relatividad especial), sino que abarca a todos los posibles sistemas (principio de relatividad general) pues Verde ha acelerado, cambiado de dirección y frenado, aunque las aceleraciones y giros se hayan hecho de modo casi instantáneo en el problema.

    Todo esto resulta un poco "artificial" para muchos, complicado y puede llevarles fácilmente a nuevas paradojas por el "salto temporal en el giro. Personalmente prefiero la respuesta simple: Verde no es un sistema inercial, o mejor: Verde usa mal la RE.

  Por otro lado cuando Einstein plantea su RG y se plantea el problema de los sistemas inerciales termina diciendo (más o menos) que todo sistema acelerado es inercial localmente, en un diferencial de tiempo (y por lo tanto un ds) y que hay equivalencia de sistemas inerciales sólo instantáneamente.


    Así tenemos que según la RG  “localmente” (en cada diferencial de tiempo) son equivalentes Rosa y Verde como sistema de referencia, pero globalmente para todo el recorrido NO.

 

 

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