La métrica de Robertson-Walker
Se trata de intentar introducir la expansión del espacio en la métrica de Minkowsky para la teoría de la relatividad especial, tratando de obtener una métrica más general, en coordenadas esféricas.

En la métrica de Minkowsky tenemos que

ds2 = (cdt)2 - dl2

pero si consideramos que el espacio se expande según un factor de escala a(t), tenemos que el espacio habrá crecido al cabo de un tiempo dt según ese factor, y así

ds2 = (cdt)2 - a(t)2 dl2 ..............(*)

Vamos a considerar que nuestro espacio de tres dimensiones habituales es en realidad la "superficie" de tres dimensiones de una hipersufercie de cuatro dimensiones.

Como paso inicial consideramos que sólo existimos en dos dimensiones y que nuestro universo es la superficie de una esfera tridimensional.

sí, si dl fuera un diferencial de longitud en la superficie de una esfera, podríamos poner por el teorema de Pitágoras

y como

que, para expresarlo todo en función de r, se puede convertir fácilmente en

usando entonces una sóla coordenada angular y r, siendo Rc el radio de la esfera ( o radio de curvatura) y , o sea la proyección de Rc sobre el plano xy

y si añadimos otra dimensión para representar un dl en una "superficie" de tres dimensiones de una hiperesfera de cuatro dimensiones, tenemos

que sustituido en (*) nos da

Esta métrica corresponde básicamente con coordenadas polares de la "superficie tridimensional (S3)" de una hiperesfera proyectada sobre el "plano ecuatorial". Aquí Rc es el radio de nuestro universo en una cuarta dimensión, por lo que no tiene un sentido claro para nosotros, y que coincide con Rc en el ecuador del sistema de coordenadas tomado.

Por ello se suele cambiar 1/Rc2 por K, factor que se define como curvatura del espacio, obteniéndose

que es la Métrica de Robertson-Walker, en honor a H. P. Robertson y A. G. Walker que la descubrieron en los años 30, y que es la métrica más general que describe un universo isotropico y homogeneo. En realidad esta métrica es la misma que usó Alexander Friedmann ya en 1992 pero se ha quedado el nombre de los que la hicieron famosa posteriormente [Brown]

Se puede analizar que pasaría para tres tipos distintos de radio del universo.

Para radio real tenemos que La curvatura K será positiva y el espacio es una hiperesfera S3 cerrada. Para radio infinito tenemos que la curvatura K es cero y la esfera se puede considarar desecha, teniendo entonces un espacio plano. Para un radio de tipo complejo resulta que la curvatura será negativa y su representación se asemeja a un paraboloide hiperbólico.

Estos universos de Friedmann se han convertido en "el modelo estandard" para las cosmologías, ya sea con constante cosmológica o no.

Para más detalles sobre las hiperesferas puede verse "Hypersphere." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html (en inglés)

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