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UNA EXPERIENCIA Y TRES PUNTOS DE VISTA

DOS NAVES EN DIRECCIONES OPUESTAS.

Supongamos que desde la Tierra (supuesta en reposo o simplemente inercial de cara a nuestros cálculos, aunque también podríamos usar el Sol como sistema de referencia para nuestra experiencia) enviamos una sonda espacial o nave  en una dirección a gran velocidad (v=0.6c) y otra en dirección  opuesta a la misma velocidad respecto de nuestro sistema de referencia. Es el instante t=0.

Las sondas llevan a bordo sendos relojes atómicos previamente sincronizados en el momento de partida.
La sonda 1 (SAT1) está programado para que cuando transcurra un tiempo T (podrían ser 1 año) envíe una señal (con la hora de su reloj codificada) que será recibida por la Tierra y por la otra sonda (SAT2) un tiempo después.
SAT2 está programado para que cuando reciba la señal de SAT1 devuelva una señal (también con su hora de reloj codificada).

Así, ya sea desde las sondas o desde la Tierra, recibimos las señales con las horas a las que llegó cada señal a la sonda y podemos comprobar si coinciden con los cálculos.

Veamos ahora tres puntos de vista para realizar los cálculos e intentar predecir el resultado. ¿Cual será el que se cumpla?
 

DESDE UN PUNTO DE VISTA NEWTONIANO (O ABSOLUTISTA PURO)

tenemos que SAT1 enviará su mensaje cuando esté situado a una distancia de la Tierra
e1 = vt1 = 0.6 . 1 = 0.6 años luz
 SAT2 recibe la señal de SAT1 cuando esté a e2 de la Tierra
e2 = vt2
e1 +e2 = c(t2- t1)
sustituyendo y despejando
vt1+vt2 =  ct2- ct1
t2 = t1(c+v)/(c-v)  =  1(1+0.6)/(1-0.6)  = 4 años
t2/t1 = (c+v)/(c-v)  = 4
por otro lado
e3 = vt3
e2 +e3 = c(t3- t2)
sustituyendo y despejando
vt2+vt3 =  ct3- ct2
t3 = t2(c+v)/(c-v) = 4(1+0.6)/(1-0.6) = 16 años
t3/t2 = (c+v)/(c-v)  = 4
y así
t3/t1 = (c+v)2/(c-v) 2 = 16
 

DESDE UN PUNTO DE VISTA DE EINSTEIN

Podemos tomar cualquier sonsa como sistema de referencia, así que tomaremos a SAT1 como tal. Entonces  la velocidad de SAT2 no es v ni 2v sino u  hallado por teorema de adición de velocidades.

u = (v+v)/(1+vv/c2) = (0.6+0.6)/(1+0.62) = 0.882353

K= (1-u2/c2)1/2 = (1-0.8823532 /12)1/2 = 0.470588
y ahora existe un t2 para el sistema de referencia y un t' 2 para SAT2, pues su tiempo "funciona" a menor velocidad, pero t1 sigue siendo 2 años.

e2 = ut2
e2  = c(t2- t1)
sustituyendo y despejando
ut2 = ct2- ct1

ct1 = ct2- ut2
t2 = t1c/(c-u) = 1  .  1/(1-0.882353) = 8.5 años
y

t3 = t1 + 2(t2 - t1) =  1 + 2(8.5 - 1) = 16 años

t3 = t1 +  2( t1c/(c-u)- t1) =   t1(1 + 2c/(c-u) -2)=  t1 (2c/(c-u) -1)

t3/ t1 = 2c/(c-u) -1 = (c+u)/(c-u) = (1+0.882353)/(1-0.882353) = 16
pero la información que recibimos de SAT2 no es t2 sino t'2
t'2 = t2 . K = 8.5 . 0.470588 = 4 años
 

UN PUNTO DE  VISTA INTERMEDIO

Ahora vamos a verlo desde el punto de vista de la Tierra pero con tiempos propios menores en cada sonda. También sería un punto de vista relativista, pero se podría decir que es algo más suave que el anterior. ¿Dará el mismo resultado?
Así tendremos unos tiempos t1, t2 y t3 vistos desde el sistema de referencia de la Tierra y otros t' propios de cada sonda.

Ahora
K =  (1-v2/c2)1/2 = (1-0.62 /12)1/2 = 0.8
t'1 =  1 años
t1  = t'2/K=  1.25 años
t2 = t1(c+v)/(c-v)  =  1.25(1+0.6)/(1-0.6)  = 5 años
t'2 =  t2K = 4 años

t3 = t2(c+v)/(c-v) = 5(1+0.6)/(1-0.6) =  20 años
t'3 =  t3K =  16  años

t'3/t'1 = t3K/ t1K=  t3/ t1 = (c+v)2/(c-v)2 = 16
 
 

Como podemos ver, todos los resultados son idénticos.

Además, para comparar mejor t'3/t'1, he realizado una simplificación mayor de lo obtenido en el segundo caso y el resultado es  (c+v)2/(c-v)2  que es idéntico a los demás.
 

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