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UN PASO MÁS EN RELATIVIDAD GENERAL: La métrica de Schwarzschild

 

    Es interesante remarcar aquí (aunque esta parte puede ser demasiado complicada para lectores ocasionales) el trabajo de Schwarzschild fusionando la métrica de Minkowski a la relatividad general para el caso de un objeto masivo y sin rotación, con lo que obtuvo lo que es considerado la primera solución exacta a la ecuaciones de campo de la Relatividad general de Einstein.

Para poder profundizar en RG tendríamos que entrar en el estudio de las ecuaciones de campo de Einstein y el cálculo tensorial. Debido a su alto grado de complejidad, solo se conocen soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein en casos con alto grado de simetría como la solución de Schwarzschild. El cálculo tensorial supera a este trabajo pero si alcanzamos a comprender un poco la métrica de Schwarzschild podemos alcanzar un mínimo de comprensión de la RG y sus modos de cálculo básicos. Así que trataremos de adentrarnos en esta métrica comparándola con la Minkowski.

Así, la primera solución exacta para las ecuaciones de Einstein de la RG la obtuvo Schwarzschild poco después de que Einstein publicara su trabajo sobre relatividad general en 1915. Schwarzschild obtuvo para ds una expresión similar a la métrica de Minkowski pero incluyendo efectos gravitatorios y expresado en coordenadas polares.

siendo M la masa del cuerpo esférico que produce la gravedad, y r , Φ y θ  las coordenadas esféricas.

Se observa por ejemplo que para r=2GM/c2 la coordenada temporal se hace cero. Este radio es el llamado radio de Schwarzschild, correspondiente al horizonte de sucesos de un agujero negro.

Esto es lo que habitualmente se llama métrica de Schwarzschild y que se usa con asiduidad para hacer cálculos referentes a relatividad general.

Existe una aproximación semi-Newtoniana,
válida sólo para campos gravitatorios no muy grandes,
donde la métrica toma la forma:
ds = - (1-2V) dt + (1+2V) (dx+dy+dz)
donde V es el potencial gravitatorio newtoniano V=GM/c2r

Si sustituimos ds por icdt' cambiamos todo de signo y dividimos todo por c2, y luego aislamos (dt')2 (que suele ponerse como (dτ)2) , expresando r en unidades de tiempo-luz se puede obtener como expresión simplificada

      (14)

siendo 2m = 2GM/c2, que es el radio de Schwarzschild en unidades normales o 2m = 2GM/c en unidades luz..
 

Así, por ejemplo, para un cuerpo en el polo norte tendremos que dr=0, dθ =0, dΦ=0  y entonces

que es la expresión que nos relaciona el tiempo transcurrido en dicho polo norte (tiempo propio dt') en comparación con el tiempo transcurrido en un punto muy alejado del campo gravitatorio dt, que coincide con la expresión que ya habíamos visto informalmente por el principio de equivalencia en el apartado inicial sobre relatividad general.

El tiempo en un campo gravitatorio será menor que el que transcurra en un punto muy alejado de él y que no sufra prácticamente sus efectos. 

 

Vamos ahora a simplificar (14) para el caso de un cuerpo que vuela alrededor del astro en círculo. Para simplificar suponemos que está alrededor del ecuador (el resultado ha de ser el mismo) y entonces dr=0, θ=π/2 rad y dθ =0 quedando

rdΦ es el diferencial de arco que llamaremos dl, y diferencial de tau es dt', así que podemos simplificar a

(dt') = (1-2m/r)(dt) - (dl)            (RG)

estando dl en unidades de tiempo-luz

Y ahora la comparamos esta expresión con la simplificación de la métrica de Minkowski simplificada y transformada para resultar de modo similar.

(ds) = (dx)+(dy)+(dz)+(dw)

simplifico poniendo dl como diferencial de espacio "normal", y icdt como dw

(ds)2 = (dl)2  - (cdt)2
(cdt'i)2 =  (dl)2 - (cdt)2
(dt')2 = (dt)2    - (dl/c)2

si expresamos l en unidades de tiempo-luz, es

(dt')2 = (dt)2  - (dl)2                      (RE)

Al comparar las dos expresiones (RG) con (RE) podemos ver la similitud y observar que la de RG CONTIENE a la de la RE.

Para el caso más simple, la RG es la RE pero con dt multiplicado por un factor gravitatorio reductor.

Si en la expresión de Schwarzschild hacemos M muy pequea o r muy grande, se obtiene la métrica de Minkowski.
 


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