| Se trata de intentar introducir la expansión
del espacio en la métrica de Minkowski para la teoría
de la relatividad especial, tratando de obtener una métrica más general, en
coordenadas esféricas.
En la métrica de Minkowski
tenemos que
ds2 = (cdt)2 - dl2
pero si consideramos que el espacio se expande según un factor de escala a(t), tenemos
que el espacio habrá crecido al cabo de un tiempo dt según ese factor, y así
ds2 = (cdt)2 - a(t)2 dl2 ..............(*)
Vamos a considerar que nuestro espacio de tres dimensiones habituales es en realidad la
"superficie" de tres dimensiones de una hipersuperficie de cuatro dimensiones.
Como paso inicial consideramos que sólo existimos en dos dimensiones y que nuestro
universo es la superficie de una esfera tridimensional.
si dl fuera un diferencial de longitud en la superficie de una esfera, podríamos
poner por el teorema de Pitágoras
y como
que, para expresarlo todo en función de r, se puede convertir fácilmente en
usando entonces una sóla coordenada angular y r, siendo Rc el radio de la esfera ( o
radio de curvatura) y  , o
sea la proyección de Rc sobre el plano xy
y si añadimos otra dimensión para representar un dl en una
"superficie" de tres dimensiones de una hiperesfera de cuatro dimensiones,
tenemos
que sustituido en (*) nos da
Esta métrica corresponde básicamente con
coordenadas polares de la "superficie tridimensional (S3)" de una hiperesfera
proyectada sobre el "plano ecuatorial". Aquí Rc es el radio de nuestro
universo en una cuarta dimensión, por lo que no tiene un sentido claro para nosotros, y que coincide con Rc en el ecuador del sistema de
coordenadas tomado.
Por ello se suele cambiar 1/Rc2 por K, factor
que se define como curvatura del espacio, obteniéndose
que es la Métrica de Robertson-Walker, en honor a H. P. Robertson y A. G. Walker que
la descubrieron en los años 30, y que es la métrica más general que describe un
universo isotropico y homogeneo. En realidad esta métrica es la misma que usó Alexander
Friedmann ya en 1922 pero se ha quedado el nombre de los que la hicieron famosa
posteriormente [Brown]
Se puede analizar que pasaría para tres tipos distintos de radio del universo.
Para radio real tenemos que La curvatura K será positiva y el espacio es una
hiperesfera S3 cerrada. Para radio infinito tenemos que la curvatura K es cero y la esfera
se puede considerar desecha, teniendo entonces un espacio plano. Para un radio de tipo
complejo resulta que la curvatura será negativa y su representación se asemeja a un
paraboloide hiperbólico.
Estos universos de Friedmann se han convertido en "el modelo estandard" para
las cosmologías, ya sea con constante cosmológica o no.θ |
